Groupes, anneaux et corps
MPSI2
2014-2015
Lois de composition interne
1 Soit E =
n1
o
, n ∈ N∗ .
n
a) L’addition d´efinit-elle une loi de composition interne sur E ?
b) La multiplication d´efinit-elle une loi de composition interne sur E ?
2 Soit E un ensemble `
a n ´el´ements avec n ∈ N∗ . Combien il y-a-t-il de lois de composition interne sur E ?
3 On d´efinit une loi de composition interne ∗ sur R par ∀(a, b) ∈ R2 , a ∗ b = ln(ea + eb ). Quelles sont ses propri´et´es ?
Poss`ede-t-elle un ´el´ement neutre ?
4 ♥ On munit R des deux lois de composition interne ∗ et T d´efinies par :
∀(x, y) ∈ R2 , x ∗ y = 2xy et xT y = x + 2y
a) La loi ∗ est-elle distributive par rapport `
aT?
b) La loi T est-elle distributive par rapport a` ∗ ?
5 F On munit R de la loi de composition interne ∗ d´efinie par :
∀(x, y) ∈ R2 , x ∗ y = xy + (x2 − 1)(y 2 − 1)
a) V´erifier que ∗ est commutative, non associative et qu’elle poss`ede un ´el´ement neutre.
b) Montrer que pour a fix´e avec |a| > 1, l’´equation x ∗ a = 1 admet 2 solutions. Conclure.
6 ♥F Sur E = [0, 1], on d´efinit une loi ∗ par ∀(x, y) ∈ E 2 , x ∗ y = x + y − xy.
a) Montrer que ∗ est une loi de composition interne, commutative et associative.
b) Montrer que ∗ poss`ede un ´el´ement neutre.
c) Quels sont les ´el´ements inversibles ? r´eguliers ?
7 FF Soit RN l’ensemble des suites `
a valeurs r´eelles. On d´efinit sur RN une loi de composition interne par :
∀(u, v) ∈ (RN )2 , u ∗ v = w o`
u le terme g´en´eral de la suite w est wn =
n
X
uk vn−k (∀n ∈ N)
k=0
La loi ainsi d´efinie est-elle associative ? commutative ? poss`ede-t-elle un ´el´ement neutre ?
8 FF Soit V un ensemble poss´edant au moins 2 ´el´ements. On consid`ere E = R∗ × V et on d´efinit sur E la loi de
composition interne ∗ par :
∀(λ, x) ∈ E, ∀(λ0 , x0 ) ∈ E, (λ, x) ∗ (λ0 , x0 ) = (λλ0 , x0 )
a) Cette loi est-elle associative ? commutative ?
b) La loi ∗ poss`ede-t-elle un ´el´ement neutre ? Il y-a-t-il des ´el´ements inversibles ?
c) Soit X0 ∈ E. On pose : ∀X ∈ E, γX0 (X) = X0 ∗ X et δX0 (X) = X ∗ X0 deux applications de E dans E.
Ces applications sont-elles des bijections ?
9 FF Soit ∗ une loi de composition interne associative sur un ensemble fini E poss´edant un ´el´ement r´egulier.
Montrer que E poss`ede un ´el´ement neutre.
10 FF Soit (E, ∗) un mono¨ıde avec E ensemble fini. Montrer que tout ´el´ement r´egulier de E est inversible.
11 FFF Soit E un ensemble fini non vide muni d’une loi de composition interne associative not´ee ∗.
Montrer qu’il existe a ∈ E tel que a ∗ a = a.
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Chapitre 10
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Groupes
12 Soit (G, ∗) un groupe `
a n ´el´ements (n ∈ N∗ ). Justifier que sa table de loi est un carr´e latin : c’est-`a-dire que tout
´el´ement apparaˆıt une seule fois sur chaque ligne et chaque colonne.
13 ♥ Soit (G, ∗) un groupe. On d´efinit le centre du groupe G par Z(G) = {a ∈ G, ∀x ∈ G, a ∗ x = x ∗ a}.
Montrer que Z(G) est un sous-groupe de G.
14 F Montrer que pour un groupe `
a 4 ´el´ements, il y a 4 tables de loi possibles et les former. Les groupes obtenus sont-ils
commutatifs ?
p
15 F Pour tout (x, y) ∈ R2 , on pose : x ∗ y = xp1 + y 2 + y 1 + x2 . Montrer que (R, ∗) est un groupe isomorphe
a (R, +).
`
16 ♥F Soit (G, ∗) un groupe tel que ∀x ∈ G, x2 = e. Montrer que G est commutatif.
17 ♥F Soit G = R∗ × R et ∗ la loi de composition interne d´efinie sur G par : (x, y) ∗ (x0 , y 0 ) = (xx0 , xy 0 + y).
a) Montrer que (G, ∗) est un groupe non commutatif.
b) Montrer que R∗+ × R est un sous-groupe de (G, ∗).
18 ♥F Sur G =] − 1, 1[, on d´efinit une loi ∗ par ∀(x, y) ∈ G2 , x ∗ y = x + y . Montrer que (G, ∗) est un groupe ab´elien.
1 + xy
19 FF Soit G un groupe. Pour n ∈ N, on consid`ere la propri´et´e P : ∀(x, y) ∈ G2 , (xy)n = xn y n .
n
a) Montrer que si G v´erifie P2 alors G est commutatif.
b) Montrer que si G v´erifie Pn pour n ≥ 1, alors (yx)n−1 = xn−1 y n−1 .
c) On suppose que G v´erifie Pn−1 , Pn et Pn+1 . Montrer que G est commutatif.
20 FF Soit G un groupe et H , H deux sous-groupes de G.
1
2
a) Montrer que H1 ∩ H2 est un sous-groupe de G.
b) Montrer que H1 ∪ H2 n’est pas toujours un sous-groupe de G.
c) Montrer que H1 ∪ H2 est un sous-groupe de G si et seulement si H1 ⊂ H2 ou
H2 ⊂ H1 .
21 ♥FF Soit G un groupe commutatif fini de cardinal n. Montrer que ∀x ∈ G, xn = e o`
u e est l’´el´ement neutre de G.
En d´eduire les sous-groupes finis de (C∗ , ×).
22 FFF Soit G un sous-groupe additif de C tel que pour tout x ∈ [0, 1], x + ix2 ∈ G. D´eterminer G.
23 FFF Montrer que H = {x + √3y, x ∈ N, y ∈ Z, x2 − 3y 2 = 1} est un sous-groupe de (R∗ , ×).
+
24 FFF Soit G un groupe fini. Montrer que le nombre d’´el´ements ´egaux `a leur inverse a la mˆeme parit´e que Card(G).
Morphismes de groupes
25 Soit (G, +) un groupe commutatif et soit E l’ensemble des morphismes de G dans G.
a) Montrer que l’on peut munir E d’une structure de groupe commutatif.
b) Montrer que (E, +, o) est un anneau.
∗
26 Montrer que f : R
x
→ R∗
avec n ∈ N∗ est un morphisme du groupe (R∗ , ×). En d´eterminer l’image et le noyau.
7
→
xn
27 F Soient G et G0 deux groupes et f : G → G0 un isomorphisme de groupes. Montrer que f −1 est un isomorphisme
de groupes.
28 F D´eterminer tous les morphismes d´erivables du groupe (R, +) dans le groupe (C∗ , ×).
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Chapitre 10
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29 FF Soit G un groupe not´e multiplicativement. Pour tout a ∈ G, on note τ : G → G
.
a
x 7→ axa−1
a) Montrer que τa est un morphisme du groupe G.
b) Montrer que ∀(a, b) ∈ G2 , τa ◦ τb = τab .
c) Montrer que τa est bijective et d´eterminer son application r´eciproque.
d) En d´eduire que A = {τa , a ∈ G} muni de la composition est un groupe.
30 FF Montrer que (R∗ , ×) et (C∗ , ×) ne sont pas isomorphes.
31 ♥FF Soit (G, ∗) et (G0 , +) deux groupes et f : G → G0 un morphisme de groupes.
a) Montrer que pour tout sous-groupe H de G, f (H) est un sous-groupe de G0 .
b) Montrer que pour tout sous-groupe H 0 de G0 , f −1 (H 0 ) est un sous-groupe de G.
Anneaux
32 D´eterminer les morphismes d’anneaux de Z dans Z.
33 ♥ Soit d ∈ N, on note Z[√d] = {a + b√d, (a, b) ∈ Z2 }. Montrer que Z[√d] est un anneau.
34 ♥ On d´efinit sur Z2 deux lois de composition interne not´ees + et ∗ par : ∀(a, b, c, d) ∈ Z4 :
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),
(a, b) ∗ (c, d) = (ac, ad + bc)
2
a) Montrer que (Z , +, ∗) est un anneau commutatif.
b) Montrer que A = {(a, 0), a ∈ Z} est un sous-anneau de (Z2 , +, ∗).
35 F On note D =
ses inversibles ?
o
n n
,
n
∈
Z,
k
∈
N
l’ensemble des nombres d´ecimaux. Montrer que D est un anneau. Quels sont
10k
36 F Trouver les ´el´ements inversibles de Z[i] = {a + ib, (a, b) ∈ Z2 }.
37 F Soit A =
nm
2
o
/m
∈
Z,
n
∈
N
. Montrer que A est un anneau. Quels en sont les ´el´ements inversibles ?
n
38 FF On consid`ere (A, +, ×) un anneau de Boole, c’est-`a-dire un anneau non nul tel que : ∀x ∈ A, x2 = x.
a) Montrer que ∀(x, y) ∈ A2 , xy + yx = 0. En d´eduire que ∀x ∈ A, x + x = 0. Montrer que A est commutatif.
b) Montrer que la relation binaire d´efinie sur A par : x ≤ y ⇔ yx = x est une relation d’ordre.
c) Montrer que ∀(x, y) ∈ A2 , xy(x + y) = 0. En d´eduire qu’un anneau de Boole int`egre ne peut avoir que 2 ´el´ements.
39 FF Soit A un anneau tel que ∀(a, b) ∈ A2 , (ab)2 = a2 b2 . Montrer que A est commutatif.
40 FF Soit E un ensemble non vide et P(E) l’ensemble des parties de E. On pose :
∀(A, B) ∈ P(E)2 , A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A)
.
a) Montrer que (P(E), ∆, ∩) est un anneau commutatif.
b) Montrer que cet anneau n’est pas int`egre et d´eterminer les diviseurs de z´ero.
41 ♥FF Soient x et y deux ´el´ements d’un anneau (A, +, ∗).
a) Montrer que si x est nilpotent et que x et y commutent, alors xy est nilpotent.
b) Montrer que si x et y sont nilpotents et commutent, alors x + y est nilpotent.
c) Montrer que si xy est nilpotent alors yx l’est aussi.
d) Montrer que si x est nilpotent alors 1 − x est inversible. Pr´eciser (1 − x)−1 .
42 FFF Soit A un anneau tel que : ∀x ∈ A, x3 = x.
a) Soit e ∈ A tel que e2 = e, d´emontrer que e commute avec tous les ´el´ements de A.
b) En d´eduire que A est commutatif.
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Chapitre 10
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Corps
43 Soit F un sous-corps de (Q, +, ×), montrer que F = Q.
√
√
√
44 ♥ Soit d ∈ N tel que √d ∈
/ Q, on note Q[ d] = {a + b d, (a, b) ∈ Q2 }. Montrer que Q[ d] est un corps.
45 FF Vous disposez d’une calculatrice pouvant effectuer l’addition et la soustraction de deux ´el´ements d’un corps et
pouvant d´eterminer l’inverse d’un ´el´ement non nul. Donner une proc´edure permettant de calculer le produit de deux
´el´ements en au plus vingt op´erations.
46 ♥FF Soit A un anneau int`egre fini. Montrer que A est un corps.
47 FFF Soit (K, +, ×) un corps. Calculer le produit des ´el´ements inversibles de K.
48 FFF Soit (p, q) ∈ Q × Q∗ tels que l’´equation (E) : x2 − px + q = 0 ne poss`ede pas de racine dans Q.
Soit α une racine de (E). On pose Q[α] = {a + bα, (a, b) ∈ Q2 }.
a) V´erifier que si z ∈ Q[α], il existe un unique couple (a, b) ∈ Q2 tel que z = a + bα.
b) V´erifier que Q[α] est un sous-anneau de (C, +, ×) qui contient Q.
c) Montrer que α est inversible dans Q[α].
d) En d´eduire que Q[α] est un sous-corps de (C, +, ×).
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Chapitre 10
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