1 TS Dérivation et continuité Cours I. Fonction

TS
I.
Dérivation et continuité
On suppose f dérivable en un réel a
de I.
Dans un repère , la tangente à la
courbe représentative de la fonction
f au point A d’abscisse a est la
droite T qui passe par A , de
coefficient directeur f ’(a)
Cours
Fonction dérivable , fonction continue
est une fonction définie sur un intervalle I
1. Fonction dérivable
Une équation de T est :
Définition
 Soit et
deux réels de I tels que 0
Dire que est dérivable en a , de nombre dérivée
que
(


)
( )
=
y = f ’(a)(x – a) + f (a)
( ) signifie
Exemples :
( )
Ex 4 page 119 ; 34 p 129
Dire que f est dérivable sur l’intervalle I signifie que f est
dérivable en tout point de I.
On note f ’ : x
3. Fonction continue sur un intervalle
Activité 2 page 117
f ’(x) la fonction dérivée de f
Définition
On écrit aussi :
( )
( )
( )
Soit f une fonction définie sur un intervalle I , de courbe représentative Cf .

présente pas de « rupture » au point a.
2. Tangente à la courbe de
( )
Soit a un réel de I . La fonction f est continue en a si Cf ne

( )
Le taux d’accroissement
est le coefficient directeur de la droite
(AM) où A(
( )) et M(
( ))
Quand tend vers , cette droite tend vers une « position limite » : la
tangente à la courbe de en A
La fonction f est continue sur l’intervalle I si elle est continue en
tout point de I.
Interprétation graphique
La courbe représentative d’une fonction continue sur un intervalle I se
reconnaît au fait que son tracé s’effectue sans lever le crayon.
1
Exercices : cours 52 , 55 page 130 ; maison 54 page 130 , 59 page 131
Exemples : fonction carré , inverse + une discontinue
II.
Tableau de variations d’une fonction continue
1. Equation ( )
Par convention , les flèches obliques du tableau de variations traduisent la
continuité et stricte monotonie de f sur l’intervalle correspondant
-
2
4
3
5
0
Exemple :
la fonction définie par ( )
Soit
{
Représenter graphiquement la fonction . Est-elle continue sur
4.
Comme f est continue sur
l’intervalle I , la courbe relie
les points A et B par un trait
continu et coupe donc au
moins une fois D
?
Propriétés ( admises)
Si
est une fonction dérivable sur un intervalle I ,
alors est continue sur I
Théorème (admis)
Soit f une fonction continue sur un intervalle I , a et b 2 réels de I.
Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b) , il existe au moins un réel c
compris entre a et b tel que
f(c)=k
c’est à dire : prend entre a et b , toute valeur intermédiaire entre ( )
et ( )
Remarque : réciproque fausse
La fonction





sur un intervalle [a ;b]
Soit f une fonction continue
sur un intervalle I , a et b
deux réels de I.
Si k est un réel compris
entre f(a) et f(b) , les points
A(a ; f(a)) et B(b ; f(b)) sont
situés de part et d’autre de la
droite D d’équation y = k.
+
( )
2
Le théorème des valeurs intermédiaires
√ est continue en 0 mais non dérivable en 0
Les fonctions polynômes sont continues sur
La fonction valeur absolue est continue sur
La fonction inverse
est continue sur chacun des intervalles
]et sur ]0 ;+ [
La fonction racine carrée
√ est continue sur [0 ;+ [
Toutes les fonctions définies comme somme , produit ,quotient
des fonctions usuelles sont continues sur tout intervalle où elle
sont définies
2
Application à la résolution d’équations :
Dans les conditions du théorème précédent , pour tout nombre réel k
compris entre ( ) et ( ) , l’équation ( )
admet au moins une
solution c comprise entre a et b .
Remarque :
Le TVI est un théorème d’existence , il affirme l’existence d’au moins une
solution à l’équation ( )
Exemple :
x
est une fonction définie sur [-3 ; 4 ] dont le tableau de variations est :
a
f(x)
c
b
f(b)
k
f(a)
-3
( )
-6
0
3
4
1
a. Déterminer le nombre de solutions de l’équation
( )
( )
( )
b. Discuter suivant la valeur de du nombre de solutions de
l’équation ( )
2. Fonction continue strictement monotone
Question : Le nombre c n’est pas forcément unique
Que faut-il rajouter comme hypothèse pour avoir l’unicité ?
x
Théorème
f(x)
Soit une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle
[a ; b].
Pour tout réel k compris entre ( ) et ( ) , l’équation ( )
admet
une unique solution dans l’intervalle [a ;b]
a
f(a)
c
b
k
f(b)
3
Exemple :
II Régles de dérivation
f est une fonction continue sur l’intervalle [-2 ;1] dont le tableau de
variations est :
x
-2
-1
0
1
-1
3
f(x)
-6
-2
1. Fonctions usuelles
Ensembles
de
définition
f  x 
3. Généralisation à un intervalle quelconque
Le théorème précédent se généralise à un intervalle ouvert ou semi-ouvert
Si I =
[a ; b ]
]a ; b ]
[a;b[
]a;b[
f  x  a ,
+
1
 x 1
x
( )
f   x   nx n 1
f  x  
√
( )
2. Opérations
Soit u et v deux fonctions
dérivables sur un intervalle I et k
un réel.
Alors les fonctions ku, u  v , uv ,
f est strictement
décroissante sur I
[f(b) ; f(a) ]
[f(b) ; lim f( x ) [
xa
] lim f( x ) ; f(a) ]
xb
] lim f( x ) ; lim f( x ) [
xb
xa
1
  x 2
x2
√
Fonctions
ku
uv
u
v
u v  uv
v2
Calculer la dérivée de
f définie sur ]0 ; + [ par f(x) = (x-1) x
b. g définie sur
par ( )
√
4
h définie sur ]5 ; + [ par ( )
0 ;  
uv
dérivables sur I .
a.
 ; 0 ou
0 ;  
Dérivées
ku 
u   v
uv  uv
u
et , si v ne s’annule pas , sont
v
c.
Intervalles
de
dérivabilité
f  x  0
a réel donné
f  x   xn ,
a. Démontrer que l’équation ( )
admet une unique solution
b. La fonction est définie par ( )
.
-2
Donner une valeur approchée de à 10 près .
L’image de I par est
l’intervalle
f est strictement croissante
sur I
[f(a) ; f(b) ]
] lim f( x ) ; f(b) ]
xa
[ f(a) ; lim f( x ) [
xb
] lim f( x ) ; lim f( x ) [
xa
xb
Dérivées f 
définies par
Fonctions f
définies par :
Exemple : Calculer la dérivée de ( )
3. De nouvelles formules ( admises )
Propriété : dérivée de √
Soit une fonction dérivable sur un intervalle I telle que ( )
I.
La fonction √ est dérivable sur I et (√ )
pour
Théorème
Si est une fonction dérivable sur un intervalle I et une fonction
dérivable sur un intervalle J contenant ( ) , alors la fonction
définie par ( )
( ( )) est dérivable sur I.
( )
( )
( ( ))
√
Propriété : dérivée de
Soit un entier naturel non nul et
intervalle I.
Si
ne s’annule pas lorsque
la fonction
une fonction dérivable sur un
est strictement négatif , alors:
est dérivable sur I et (
)
Preuve :
Exemples :
Calculer les dérivées des fonctions
( ) (
( )
Remarque : dérivée de
(
:
:
)
)
(
)
4. Généralisation
√
définie par ( )
Exemple : calculer la dérivée de
(
Exercice : Conjecturer puis déterminer le maximum de la fonction
√
définie sur [0 ;2] par ( )
)
Propriété
Soit une fonction dérivable sur un intervalle I , et deux réels.
La fonction définie par ( )
(
) est dérivable pour tout
tel que (
) I et ( )
(
)
5

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