´ ements de cours MPSI-El´ Suites d´efinies par r´ecurrence 9 f´evrier 2015 Suites d´ efinies par r´ ecurrence R´edaction incompl`ete. Version alpha Plan I. Vocabulaire - R´esultats g´en´eraux . . II. Fonctions monotones. . . . . . . 1. Fonction croissante . . . . . . 2. Fonction d´ecroissante. . . . . . 3. Conditions suffisantes de stabilit´e ou III. Expressions particuli`eres . . . . . 1. R´ecurrence arithm´etico-g´eom´etrique 2. R´ecurrence homographique . . . 3. R´ecurrence lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d’instabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 2 2 2 3 3 3 3 Index – intervalle stable, 1 Cette section ne fait pas partie du programme de la classe de MPSI. Les r´esultats pr´esent´es ne doivent donc pas ˆetre utilis´es directement surtout ` a l’´ecrit. L’objectif est de d´egager certaines situations caract´eristiques. Le contexte g´en´eral est l’´etude de suites v´erifiant une relation de r´ecurrence du ype xn+1 = f (xn ) o` u f est une fonction d´efinie dans une partie de R et `a valeurs r´eelles. Les r´esultats pr´esent´es ici ne couvrent que des cas tr`es particuliers et ne repr´esentent absolument pas la complexit´e de la question. I. Vocabulaire - R´ esultats g´ en´ eraux D´ efinition. On dira qu’un intervalle I est stable pour une fonction f lorsque I est inclus dans l’espace de d´epart de f et que f (I) ⊂ I. On dira que a appartenant ` a l’espace de d´epart d’une fonction f est un point fixe de f lorsque f (a) = a. Proposition. Lorsque I est un intervalle stable pour f , pour toute condition initiale x0 ∈ I, la suite (xn )n∈N est d´efinie pour tous les entiers n. D´ efinition. On dira qu’un point fixe a de f est stable (ou attractif) si et seulement si il est `a l’int´erieur d’un intervalle J stable pour f et tel que, pour toute condition initiale x0 ∈ J, la suite (xn )n∈N converge vers a. D´ efinition. On dira qu’un point fixe a de f est stable (ou attractif) si et seulement si il existe un intervalle J stable pour f tel que a est ` a l’int´erieur de J et que, pour toute condition initiale x0 ∈ J, la suite (xn )n∈N converge vers a. D´ efinition. On dira qu’un point fixe a de f est instable (ou r´epulsif) si et seulement si il existe un intervalle J tel que a est ` a l’int´erieur de J et que, pour toute condition initiale x0 ∈ J, il existe un entier N (x0 ) tel que : x0 ∈ J, x1 ∈ J, · · · , xN (x0 )−1 ∈ J, xN (x0 ) 6∈ J Proposition. Lorsque la suite converge vers un r´eel a dans l’espace de d´epart de f et que f est continue en a, ce point a est un point fixe de f . Preuve. En effet, par continuit´e de f en a, (f (xn ))n∈N converge vers f (a) mais cette suite est aussi ´egale `a la suite extraite (xn+1 )n∈N qui converge vers a. D´ efinition. Le bassin d’attraction d’un point fixe a est form´e par l’ensemble des conditions initiales x0 pour lesquelles la suite (xn )n∈N converge vers a. 1 Cette cr´ eation est mise ` a disposition selon le Contrat Paternit´ e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales ` a l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/ R´ emy Nicolai C4792 ´ ements de cours MPSI-El´ II. 1. Suites d´efinies par r´ecurrence 9 f´evrier 2015 Fonctions monotones Fonction croissante Fig. 1: Divergence monotone Proposition. Lorsque I est un intervalle stable pour f et que f est croissante sur I, alors, pour toute condition initiale x0 ∈ I, la suite (xn )n∈N est monotone. Preuve. En fait la premi`ere in´egalit´e, celle entre les valeurs x0 et x1 , va se propager par r´ecurrence : x0 ≤ x1 ⇒ ∀n ∈ N : xn ≤ xn+1 : suite croissante x0 ≥ x1 ⇒ ∀n ∈ N : xn ≥ xn+1 : suite d´ecroissante 2. Fonction d´ ecroissante 3. Conditions suffisantes de stabilit´ e ou d’instabilit´ e Lorsque le signe de f (x) − x est connu dans un intervalle autour d’un point fixe, on peut parfois savoir si ce point est stable ou instable. – Le point fixe est instable lorsque la distribution des signes dans un intervalle J est comme dans le tableau suivant : a f(x)-x - 0 + Lorsque la fonction est C 1 dans J, la condition f 0 (a) > 1 entraine une telle distribution locale des signes. – Le point fixe est stable lorsque la distribution des signes dans un intervalle J est comme dans le tableau suivant : a f(x)-x + 0 Lorsque la fonction est C 1 dans J, la condition 0 ≤ f 0 (a) < 1 entraine une telle distribution locale des signes. Remarques. – M´ethode de Newton – Application contractante. Toute applcation contractante dans un intervalle stable admet un unique point fixe. 2 Cette cr´ eation est mise ` a disposition selon le Contrat Paternit´ e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales ` a l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/ R´ emy Nicolai C4792 ´ ements de cours MPSI-El´ III. Suites d´efinies par r´ecurrence 9 f´evrier 2015 Expressions particuli` eres 1. R´ ecurrence arithm´ etico-g´ eom´ etrique 2. R´ ecurrence homographique 3. R´ ecurrence lin´ eaire 3 Cette cr´ eation est mise ` a disposition selon le Contrat Paternit´ e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales ` a l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/ R´ emy Nicolai C4792