Chapitre 10 : Calcul différentiel
1. Nombre dérivé
1.1 Vocabulaire et première application
Définition 1. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Le taux d’accroissement τx0 ,h (f ) de f entre x0 ∈ I et
x0 + h ∈ I est
f (x0 + h) − f (x0 )
τx0 ,h (f ) =
h
Si la limite, lorsque h tend vers 0, du taux d’accroissement τx0 ,h (f ) existe et est finie, la fonction f est dite dérivable en
x0 . Cette limite est alors appelée le nombre dérivé f ′ (x0 ) de f en x0 :
f ′ (x0 ) = lim
h→0
f (x) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
= lim
.
x→x0
h
x − x0
S’il existe une limite finie à gauche (resp. à droite), on dit que f est dérivable en x0 à gauche (resp. à droite) et on note fg′ (x0 )
(resp. fd′ (x0 )) cette limite, appelée nombre dérivé à gauche (resp. à droite).
Exemple 1. ✎ f : x 7→
√
√
x est-elle dérivable en 0 ? Même question pour g : x 7→ x x et pour la fonction valeur absolue.
Remarque 1. L’égalité des deux limites de la définition ci-dessus s’obtient en posant x = x0 + h, reprenant l’idée de la
méthode 3 du chapitre 8 : il est parfois plus facile de considérer des limites lorsque la variable tend vers 0.
1
Proposition 1.« indéterminations levées via un taux d’acroissement »
√
ex − 1
ln(x + 1)
(1 + x)α − 1
1
1+x−1
= 1 2 lim
=1 3 lim
= α (α ∈ R) 4 lim
=
lim
x→0
x→0
x→0
x→0
x
x
x
x
2
Démonstration. ✎ en admettant la dérivabilité d’une fonction adaptée en 0, utiliser directement la définition
Remarque 2. Il y a en fait une arnaque dans la démonstration précédente. Il faudrait en fait démontrer la dérivabilité
pour calculer cette limite, mais calculer cette limite revient, d’après la définition, à montrer la dérivabilité ! Pour démontrer
honnêtement ces résultats, il faut par exemple établir une double inégalité et appliquer le théorème des gendarmes (la première
limite est montrée dans l’exercice 3 du chapitre 8 de cette manière)
ln x − 1
ex (x + 1) − 1
, lim
, lim
Exemple 2. ✎ Déteminer lim
x→e x − e
x→4
x→0
x
√
2x + 1 − 3
x−4
1.2 Interprétation géométrique
Soit f une fonction définie sur I et dérivable en x0 ∈ I et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé. On note M0
le point de C d’abscisse x0 et Mh le point de C d’abscisse x0 + h.
Cf
Cf
Mh
f (x0 + h)
b
h tend vers 0
Mh tend vers M0
(M0 Mh ) tend vers Tx0
M0
f (x0 )
O
M0
f (x0 )
b
h
x0
Tx0
x0 + h
O
b
x0
Exemple 3. ✎ 1 Justifier que le coefficient directeur de (M0 Mh ) à la courbe Cf est égal à τx0 ,h (f ).
2 Déduire de ce qui est écrit sous la flèche le coefficient directeur de la tangente T .
x0
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Proposition 2.
Soit f une fonction définie sur I et dérivable en x0 ∈ I. La tangente à la courbe Cf au point d’abscisse x0 est la droite Tx0
d’équation
y = f ′ (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ).
En particulier, le coefficient directeur de cette tangente est égal à f ′ (x0 ).
Exemple 4. ✎ Soit f : x 7→ ln(x + 1). Déterminer les points de Cf pour lesquels la tangente est parallèle à d : y = x.
Proposition 3.
Si f non dérivable en x0 mais lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
= ±∞, Cf admet une (demi-)tangente verticale en x0 .
x − x0
Exemple 5. ✎ Donner un exemple parmi les fonctions usuelles.
1.3 Développement limité d’une fonction à l’ordre 1
Définition 2. Soit f définie sur un intervalle ouvert contenant x0 . On dit que f admet un développement limité à
l’ordre 1 en x0 (on notera parfois DL1 (x0 )) lorsqu’il existe deux réels a et b tels que, pour h suffisamment proche de 0 :
f (x0 + h) = a + bh + hε(h),
avec
lim ε(h) = 0
h→0
1 De manière équivalente, on peut dire que pour x suffisamment proche de x , on a :
Remarque 3.
0
f (x) = a + b(x − x0 ) + (x − x0 )ε(x − x0 ), toujours en posant x = x0 + h
2
3
La quantité hε(h) est, par définition, négligeable devant h lorsque h tend vers 0. On peut alors la noter o(h), ce qui se
lit « petit o de h » (il est sous-entendu que c’est au voisinage de 0). L’égalité de la définition précédente s’écrit donc :
f (x0 + h) = a + bh + o(h).
De la même manière, on peut noter f (x) = a + b(x − x0 ) + ox0 (x − x0 ) (« petit o de x − x0 au voisinage de x0 »).
Le DL est dit à l’ordre 1 car la quantité a + bh est un polynôme de degré 1 en la variable h . On peut a priori définir des
DL à tous les ordres.
Le DL0 (x0 ) de f s’écrit f (h) = a + ε(h), avec a réel (a est bien un polynôme de degré 0) et lim ε(h) = 0.
h→0
Le DL2 (x0 ) de f s’écrit f (h) = a + bh + ch2 + h2 ε(h), avec a, b, c réels (a + bh + ch2 est un polynôme de degré 2) et
lim ε(h) = 0.
h→0
4
L’idée des DL est de faire l’approximation d’une fonction par un polynôme, de manière locale (l’égalité n’est valable que
lorsque h est proche de 0, c’est à dire lorsque x est proche de x0 .)
Théorème 4.
Les deux propositions suivantes sont équivalentes :
1 f est dérivable en x
a 2 f admet un développement limité à l’ordre 1 en x0
0
Le DL est alors unique et, nécessairement : a = f (x0 ) et b = f ′ (x0 ).
Autrement dit, pour h suffisamment proche de 0, ou encore pour x suffisament proche de x0 :
f (x0 + h) = f (x0 ) + f ′ (x0 )h + o(h) ou encore f (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) + ox0 (x − x0 ).
Remarque 4. Lorsque x est suffisamment proche de x0 , cela signifie que la courbe représentative de f est très proche de sa
tangente en x0 . On parle d’approximation affine : f (x) ≈ f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ). Pour des valeurs de x suffisamment proches
de x0 , Tx0 est en fait la droite qui est la plus proche de la courbe représentative de f .
√
1
, x 7→ 1 + x,
Exemple 6. ✎ 1 Donner les développements limités à l’ordre 1 en 0 de x 7→ ex , x 7→ ln(1 + x), x 7→ 1+x
√
√
x 7→ e−x , x 7→ ln(1 − x), ainsi que les développements limités à l’ordre 1 en 1 de x 7→ 1 + x, x 7→ 1 − x et x 7→ ln x.
2 En utilisant l’approximation affine pour une fonction f supposée dérivable sur R, donner une valeur approchée de f (3, 05)
sachant que f (3) = 1 et f ′ (3) = 6.
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1.4 Lien entre la continuité et la dérivabilité
Théorème 5.« continuité vs dérivabilité »
Soit x0 ∈ R. Alors, f dérivable en x0 ⇒ f continue en x0 .
BLa réciproque est fausse !
Démonstration. ✎ Pour le sens direct, écrire le DL1 (x0 ) de f et passer à la limite. Pour le contre-exemple, regarder parmi les
fonctions usuelles.
2. Fonction dérivée
2.1 Dérivabilité sur un intervalle
Définition 3. Quand f admet un nombre dérivé en tout point x0 ∈ I, on dit que f est dérivable sur I. On définit alors la
fonction dérivée, notée f ′ : x 7→ f ′ (x).
Exemple 7. ✎ 1 Retrouver "à la main" la fonction dérivée de la fonction carrée.
2 Montrer à la main que la dérivée de u + v est u′ + v ′ .
3 En se servant de l’égalité ci-dessous, établir la formule de dérivation
d’un produit : u(x0 + h)v(x0 + h) − u(x0 )v(x0 ) = u(x0 + h)v(x0 + h) − u(x0 + h)v(x0 ) + u(x0 + h)v(x0 ) − v(x0 )u(x0 ).
Remarque 5. Il est important d’avoir compris que toutes les formules de dérivée des fonctions usuelles, des opérations sur les
dérivées, ont été obtenues via des calculs de limites (ou des calculs de développements limités) comme dans l’exemple précédent.
Fort heureusement, on ne vous demande pas de redémontrer ces résultats à chaque fois mais juste de les utiliser.
2.2 Dérivée d’une fonction réciproque
Théorème 6.
Soit I un intervalle et f une bijection de I sur f (I). Si f ′ ne s’annule pas sur I, alors f −1 est dérivable sur f (I) et
′
′
1
1
c’est à dire que pour y ∈ f (I), f −1 (y) = ′ −1
.
f −1 = ′
f ◦ f −1
f (f (y))
Exemple 8. ✎ Soit f : x 7→ ln(x2 + x + 1).
1
2
3
4
Donner l’ensemble de définition de f , puis résoudre f (x) = 0
Justifier que f définit une bijection de l’intervalle I = − 21 ; +∞ sur l’intervalle f (I), à déterminer.
On note g fonction réciproque de f , définie sur f (I) dans la question précédente.
Donner l’équation de la tangente à Cg en 0.
2.3 Dérivées successives. Espaces C p
Définition 4. Soit p ∈ N. On note f (p) , lorsqu’elle existe, la dérivée p-ième de f , c’est à dire obtenue en dérivant p fois
la fonction f .
Par exemple f (0) = f , f (1) = f ′ , f (2) = f ′′ (« f seconde »).
Définition 5. Soit p ∈ N. On dit que f est de classe C p sur I lorsque :
1
f est p fois dérivable sur I.
2
f (p) est continue sur I.
On dit que f est de classe C ∞ sur I lorsque, pour tout entier p, f est p fois dérivable sur I.
Exemple 9. ✎ Que sont les fonctions C 0 sur un intervalle ?
Théorème 7.« Théorèmes généraux sur les fonctions dérivables et C p »
Une fonction définie comme la somme, la différence, le produit, le quotient, la composée de fonction dérivables (resp. C p )
est dérivable (resp. C p ) sur tout intervalle où elle est définie.
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Remarque 6. Comme pour la continuité, ces résultats permettent de conclure positivement mais pas négativement. Dans la
pratique, on utilise les théorèmes généraux en priorité et il reste parfois quelques valeurs à étudier à la main.
√
Exemple 10. ✎ 1 Donner le domaine de dérivabilité I de f : x 7→ x x. Cette fonction est-elle C 1 sur I ? C 2 ?
2 Déterminer le domaine de dérivabilité et la dérivée des fonctions suivantes : (a) x 7→ x|x|
(b) x 7→ | ln(x)|
Voici enfin un théorème qui évite de passer systématiquement par des limites de taux d’accroissements pour montrer le caractère
C p des fonctions.
Théorème 8.« Théorème de prolongement C p
Soit p ∈ N, f une fonction de classe C p sur un intervalle I et x0 ∈ I.
Si f (p) est dérivable sur I \ {x0 }, alors f est de classe C p+1 sur I si et seulement si f (p+1) admet une limite finie l en x0 , et
dans ce cas f (p+1) (x0 ) = l
1
Exemple 11.
0 ? C 2 ? C p jusqu’à quel ordre ?
✎ Les fonctions suivantes admettent-elles un prolongementC en
1
−
1 + x si x > 0
e x si x > 0
1 f : x 7→
2 g : x 7→ x3 ln x
3 h : x 7→ xx
4 x 7→
ex si x < 0
0 si x < 0
3. Applications de la dérivation
Une première application à déjà été vue : le calcul de certaines limites en reconnaissant un taux d’acroissement.
L’application principale de la dérivée est évidemment l’étude des variations d’une fonction sur un intervalle, ou encore la
recherche d’extrema locaux. On profite d’ailleurs de ce chapitre pour introduire cette notion.
Définition 6. On dit que f possède un maximum local en x0 si f (x) 6 f (x0 ) pour x situé dans un voisinage de x0 .
On dit que f possède un minimum local en x0 si f (x) > f (x0 ) pour x situé dans un voisinage de x0 .
Dans les deux cas, on dit que f possède un extremum local en x0 (cet extremum est f (x0 )).
Si les inégalités précédentes ont lieu sur tout un intervalle I contenant x0 , on dit que l’extremum est global sur I.
Remarque 7. Pour bien faire la différence entre local et global, imaginez les sommets de toutes les montagnes, petites collines,
petites bosses (tous des maxima locaux) et le sommet de l’Everest (le seul maximum global sur la terre).
3.1 Extremum local
Le résultat suivant donne une condition nécessaire pour que f ait un extremum local en x0 :
Théorème 9.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si f admet un extremum local en x0 ∈ I tel que x0 ne soit pas une des extrémité de I alors f ′ (x0 ) = 0.
Le résultat suivant donne une condition suffisante pour que f ait un extremum local en x0 :
Théorème 10.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et x0 un point intérieur à I.
Si f ′ s’annule en x0 en changeant de signe alors f a un extremum local en x0 .
Exemple 12.
2
f : x 7→ x3 admet-elle un extremum en 0 ?
ax2 + x − 1
f : x 7→
. Comment choisir a pour que f admette un maximum local en x = 1 ?
2x − 3
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1
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3.2 Inégalités des acroissements finis
Théorème 11.« IAF »(admis)
Soit f une fonction de classe C 1 sur un intervalle I.
• Version 1. Si de plus il existe m, M ∈ R tels que : ∀x ∈ I, m 6 f ′ (x) 6 M :
Alors ∀(a, b) ∈ I 2 , a 6 b, on a : m(b − a) 6 f (b) − f (a) 6 M (b − a)
• Version 2. Si de plus il existe M ∈ R tel que : ∀x ∈ I, |f ′ (x)| 6 M :
Alors ∀(a, b) ∈ I 2 , on a |f (b) − f (a)| 6 M |b − a|
Remarque 8. L’inégalité des accroissements finis exprime graphiquement que la courbe représentative de f est située entre
les droites d’équation y = f (a) + m(x − a) et y = f (a) + M (x − a) sur l’intervalle [a; b].
Exemple 13 (Application fondamentale de l’ IAF). ♥ ✎ Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I vérifiant
f (I) ⊂ I et |f ′ (x)| 6 k < 1, avec k ∈ R+ . Soit ℓ ∈ I tel que f (ℓ) = ℓ.
Soit enfin une suite (un )n∈N défine par un+1 = f (un ) et u0 ∈ I.
1
2
3
4
Montrer que, pour tout n ∈ N, |un+1 − l| 6 k |un − l|.
En déduire que pour tout n ∈ N, |un − l| 6 k n |u0 − l|.
Que conclure sur la suite (un )n∈N ?
1
Application : on suppose k = et |u0 − l| 6 1. A partir de quels rangs a-t-on |un − l| 6 10−3 ? |un − l| 6 10−6 ? Que
2
dire de la vitesse de convergence d’une telle suite ?
3.3 Variations
Théorème 12.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
1 f est constante sur I ⇔ f ′ = 0 sur I.
2
3
f est croissante (resp. décroissante) sur I ⇔ f ′ > 0 (resp. f ′ 6 0) sur I.
f est strictement croissante (resp.strictement décroissante) sur I ⇔ f ′ > 0 (resp. f ′ < 0) sur I sauf en des points
isolés où elle s’annule.
Démonstration. ✎ Utliser l’IAF, version 1, avec les bonnes valeurs de m et/ou de M .
4. Convexité et concavité
La définition de la convexité et de la concavité n’est pas la même que celle donnée en classe de TES, qui était reliée à la position
de la courbe par rapport aux tangentes et nécessitait donc de considérer des fonctions dérivables. Bien entendu, dans le cas où
f est dérivable, la définition ci-dessous est équivalente à celle donnée en TES.
4.1 Convexité et concavité pour des fonctions quelconques
Définition 7. Une fonction est dite convexe sur un intervalle I si :
∀(x1 , x2 ) ∈ I 2 , ∀(t1 , t2 ) ∈ [0; 1]2 tels que t1 + t2 = 1 :
f (t1 x1 + t2 x2 ) 6 t1 f (x1 ) + t2 f (x2 )
Une fonction est dite concave sur un intervalle I si : ∀(x1 , x2 ) ∈
I 2 , ∀(t1 , t2 ) ∈ [0; 1]2 tels que t1 + t2 = 1 :
t1 f (x1 ) + t2 f (x2 )
f (t1 x1 + t2 x2 )
f (x1 )
b
b
f (x2 )
b
b
b
b
b
b
f (t1 x1 + t2 x2 ) > t1 f (x1 ) + t2 f (x2 )
On appelle point d’inflexion de Cf un point d’abscisse x0 tel que f change
de convexité en x0
b
x1
Remarque 9.
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1
b
b
t1 x1 + t2 x2 x2
Dire que f est concave sur I revient donc à dire que la fonction −f est convexe sur I
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Graphiquement, dire que f est convexe sur I = [a; b] revient à dire que l’arc de courbe joignant les points d’abscisses a
et b est en dessous de la corde, c’est à dire la droite joignant ces deux points, comme le montre l’illustration ci-dessus.
C’est le contraire si f est concave, au vu de la remarque qui précède.
2
Si on ne veut pas tracer les cordes, on peut visualiser la convexité ainsi : f est convexe lorsque sa courbe représentative
a sa « bosse »tournée vers le bas, concave lorsque la « bosse »est tournée vers le haut.
3
Exemple 14. Donner des fonctions usuelles qui ont l’air convexes, concaves, possédant un point d’inflexion.
En admettant ces résultats de convexité, justifier les inégalités suivantes :
ex 6 (e − 1)x + 1 sur [0; 1].
1
2
ln(x) >
x−1
sur [1; e].
e−1
4.2 Convexité pour les fonctions dérivables
Le théorème précédente a le défaut d’être très difficile à utiliser. Lorsque la fonction f est dérivable, on a un résultat plus
simple à exploiter.
Théorème 13.
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, de courbe Cf .
• f est convexe sur I, si et seulement si f ′ est croissante sur I.
• f est convexe sur I, si et seulement si sa courbe est située au dessus de chacune de ses tangentes.
• f est concave sur I, si et seulement si f ′ est décroissante sur I.
• f est concave sur I, si et seulement si sa courbe est située en dessous de chacune de ses tangentes.
• le point A d’abscisse x0 de la courbe Cf est un point d’inflexion si et seulement si f ′ change de monotonie en x0
(donc si f ′ admet un extremum local en x0 ).
• le point A de la courbe Cf est un point d’inflexion si et seulement si la tangente en A traverse la courbe.
b
b
~
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
~
~
b
b
O
b
~ı
b
~ı
~ı
La fonction carrée est convexe sur R.
Ob
b
O
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
La fonction racine carrée est concave sur
]0; +∞[.
O point d’inflexion. La fonction cube est
concave sur R− , convexe sur R+ .
Exemple 15. ✎ Donner l’équation de la tangente Tx0 à la parabole P de la fonction f : x 7→ x2 au point d’abscisse x0 .
2
x+1
x2 + 1
>
Etudier la position relative de Tx0 et P (identité remarquable !). Conclure. En déduire que pour x ∈ R :
2
2
4.3 Convexité pour les fonctions deux fois dérivables
Comme la plupart des fonctions étudiées sont au minimum deux fois dérivables, le théorème suivant s’avère être le plus
pratique de tous pour étudier la convexité des fonctions.
Théorème 14.
• f est convexe sur I si et seulement si f ′′ (x) > 0 sur I.
• f est concave sur I si et seulement si f ′′ (x) 6 0 sur I.
• le point d’abscisse x0 de Cf est un point d’inflexion si et seulement si f ′′ s’annule en changeant de signe en x0 .
Exemple 16. ✎ Étude complète (ensemble de définition, limites, variations,
extrema, convexité, points d’inflexions, ébauche
p
de tracé) des fonctions définies par : 1 f (x) = ln(1 + x2 ) 2 g(x) = x 12x
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Bilan du chapitre 10
Objectifs prioritaires
1
Connaître la définition de la dérivabilité (en un point, à gauche, à droite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Connaître les formes indéterminées vues comme des taux d’accroissements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Savoir donner une équation de tangente, un DL1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Savoir les liens entre continuité et dérivabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Connaître les théorèmes pour montrer qu’une fonction est C , éventuellement via un prolongement . . . . . . . . . . . 5
6
7
8
p
Connaître les notions d’extrema locaux et globaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Connaître l’IAF et savoir l’appliquer aux études de suites un+1 = f (un ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Connaître la définition de la convexité et savoir appliquer lecritère de convexité pour les fonctions deux fois dérivables
Objectifs secondaires
1
Savoir montrer la dérivabilité d’une fonction en un point à la main. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Savoir appliquer l’IAF pour démontrer des inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Savoir appliquer tous les critères de convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TD du Chapitre 10
Exercice 1. Un peu de lecture graphique
Soit f une fonction deux fois dérivable sur R. On note f ′ sa dérivée et f ′′ sa dérivée seconde. La courbe représentative de la
fonction dérivée notée Cf ′ est donnée ci dessous. La droite T est tangente à la courbe Cf ′ au point d’abscisse 0.
y
2
1
Cf ′
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
-1
-2
-3
1
2
Par lecture graphique : (a) Résoudre f ′ (x) = 0.
(b) Résoudre f ′′ (x) = 0.
Une des deux courbes C1 et C2 ci-dessous est la courbe représentative de la fonction f et une autre la courbe représentative
de la dérivée seconde f ′′ .
y
C1
3
2
y
1
2
-3
-2
-1
0
1
2
3
C2
x
1
-1
-3
-2
-2
-1
0
1
2
3
x
-1
-3
(a) Déterminer la courbe qui représente f et celle qui représente la dérivée seconde f ′′ .
(b) Déterminer les intervalles sur lesquels f est convexe ou concave.
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1/5
(c) Donner les coordonnées du point d’inflexion de la courbe représentative de f et une valeur approchée du coefficient
directeur de la tangente en ce point à la courbe.
Exercice 2. Étude de fonctions
Réaliser l’étude complète (tableau de variation, convexité) des fonctions suivantes :
ex
2
1 f : R → R, x 7→ e−x + x
2 g : R → R, x 7→ x2 e−2x
3 h : R → R, x 7→
4 u : R → R, x 7→ e−x
x
Exercice 3. Exercice appliqué à l’économie (d’après MATH@ES)
340
Soit CT la fonction définie pour tout réel x élément de l’intervalle
]0; 10] par CT (x) = x3 − 12x2 + 50x + 63.
La fonction CT modélise sur l’intervalle ]0; 10] le coût total de
production exprimé en milliers d’euros, où x désigne le nombre
de milliers d’articles fabriqués chaque jour. Elle est représentée
ci-contre.
PARTIE A : Étude du coût total
1
280
260
240
220
180
160
semble-t-elle
140
120
(b) La courbe a-t-elle un point d’inflexion ?
2
300
200
Par lecture graphique :
(a) sur quel intervalle la fonction CT
convexe ? concave ?
320
100
On note C la dérivée de la fonction CT .
(a) Calculer C ′ (x). (b) Étudier les variations de C ′ .
(c) Démontrer les résultats du 1.
′
80
60
40
20
2
4
6
8
10
PARTIE B : Étude du coût moyen
On considère la fonction CM définie sur l’intervalle ]0; 10] par CM (x) =
production, exprimé en euros, par article fabriqué.
1
CT (x)
. La fonction CM mesure le coût moyen de
x
Soit A le point d’abscisse a de la courbe (Γ).
(a) Montrer que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal au coût moyen CM (a)
(b) Conjecturer à l’aide du graphique les variations de la fonction CM
2
3
Le coût marginal, coût d’une unité supplémentaire produite est assimilé à la dérivée du coût total.
Graphiquement, comparer le coût marginal et le coût moyen minimal.
′
On désigne par CM
la dérivée de la fonction CM .
′
(a) Calculer CM
(x).
′
(b) Montrer que l’équation CM
(x) = 0 admet une solution unique α. Déterminer une approximation de α.
(c) Étudiez les variations de la fonction CM .
(d) En déduire le prix de vente minimal, d’un article pour que l’entreprise ne travaille pas à perte ?
4
Justifier que lorsque le coût moyen est minimal, alors le coût moyen est égal au coût marginal.
PARTIE C : Rendements marginaux et d’échelles
On dit que les rendements marginaux sont décroissants lorsque le coût marginal est croissant.
On dit que les rendements d’échelles sont décroissants lorsque le coût moyen est croissant.
Déterminer les valeurs à partir desquelles ces rendements deviennent décroissants.
Exercice 4.
On considère la fonction définie sur R par f (x) = ln
1
2
3
ex − 1
x
si x 6= 0 et f (0) = 0
Montrer que f est continue sur R.
Justifier que f est C 1 sur R× et calculer f ′ (x) lorsque x 6= 0
1
Démontrer que lim f ′ (x) = . En déduire que f est C 1 sur R et calculer f ′ (0).
x→0
2
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Exercice 5.
Montrer que les fonctions suivantes sont continues sur I. Quelles sont les fonctions qui sont C 1 sur I ? Expliciter la dérivée de
chacune de ces fonctions sur son intervalle de dérivabilité
√
√
I = R+ , b(x) = ln(1 + x)
I = R+ , a(x) = xe−x
(
2
ln(1 + 2x)
x ln x si x > 0
si x > 0
I = R+ , c(x) =
I = R+ , d(x) =
x
0
si x = 0
2
si x = 0
√
exp(x ln x) si x > 0
I =] − ∞, 1], f (x) = x 1 − x
I = R+ , e(x) =
1
si x = 0
√
I = R, h(x) = ln(e2x − 2ex + 3)
I = [−1, 1], g(x) = (1 − x) 1 − x2
√
x x
√
si x > 0
x
I =] − ∞, −1] ∪ [0, +∞[, i(x) = x x + x2 I = R+ , j(x) =
e 0− 1 si x = 0
(
x − ln(1 + x)
e3x − 1
si x > 0
si
x
=
6
0
I = R, k(x) =
I
=
R
,
l(x)
=
+
x
x
0
si x = 0
3
si x = 0
Exercice 6.
ex − 1
.
Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = x
e +1
1
2
3
4
6
8
Justifier que f est dérivable sur R, expliciter f ′ .
Dresser le tableau de variations de f (limites incluses) et tracer dans un repère orthormée Cf .
Montrer que f réalise une bijection de R sur un intervalle à expliciter.
1
1
En quels points sa réciproque est-elle dérivable ? 5 Calculer (f −1 )′ (0), (f −1 )′ ( ) et (f −1 )′ (− ).
2
4
Déterminer (f −1 )′ (x) lorsque f −1 est dérivable en x. 7 Soit x ∈ f (R). Déterminer son antécédent par f. En déduire f −1 .
Retrouver directement les résultats de la question 4. 9 Tracer dans le même repère que la question 4 Cf −1
Exercice 7.
Soit f la fonction définie ∀x ∈]0, +∞[,
1
3
5
f (x) = x ln x.
1
En déduire que f réalise une bijection de
, +∞ sur un intervalle J que à expliciter.
Etudier les variations de f.
e
En quel point f −1 est-elle dérivable ? 4 Calculer (f −1 )′ (0). Calculer f (e) et f (e2 ). En déduire (f −1 )′ (e) et (f −1 )′ (2e2 ).
Tracer dans un même repère orthonormé Cf et Cf −1 .
2
Exercice 8.
Soit la suite u définie par ∀n ∈ N,
1
2
un+1 =
2un
2x
et u0 ∈ R+ . On pose f : x 7→
.
3un + 1
3x + 1
1
1
, |f ′ (x)| 6
3
2
(b) Déterminer le signe de f (x) − x sur R+ ainsi que ses points fixes.
(c) Montrer que [0, 1/3] et [1/3, +∞[ sont des intervalles stables par f.
On suppose dans cette question u0 ∈ [1/3, +∞[ .
(a) Montrer que ∀n ∈ N, un > 1/3 puis étudier la monotonie de la suite u.
(a) Etudier les variations de f sur R+ et montrer que ∀x >
1
(b) En déduire sa convergence ainsi que sa limite. (c) Montrer que ∀n ∈ N, |un+1 − 1/3| 6 |un − 1/3|
2
1
(d) En déduire que ∀n ∈ N, |un − 1/3| 6 n |u0 − 1/3| .
2
1 (e) On suppose u0 = 5. Comment choisir n pour être sûr que un − 6 10−4 ?
3
Exercice 9.
1
1
Soit la suite (un )n∈N définie par u0 = 1 et ∀n ∈ N : un+1 = un + (2 − u2n ). On pose f : x 7→ x + (2 − x2 ).
4
4
1
2
(a) Etudier les variations de f et déterminer ses points fixes.
1
(b) Montrer que ∀x ∈ [1, 2], |f ′ (x)| 6 et que f ([1, 2]) ⊂ [1, 2].
2
√
√
1
1 6 un 6 2. (b) Montrer que ∀n ∈ N |un+1 − 2| 6 |un − 2|.
2
n
√
√
1
et conclure. (d) A partir de quel rang a-t-on : |un − 2| 6 10−9 ?
(c) Montrer que ∀n ∈ N |un − 2| 6
2
√
(e) A l’aide d’un tableur, donner une valeur approchée de 2 à 10−9 près.
(a) Montrer que ∀n ∈ N,
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Exercice 10.
Soit u la suite définie par u0 ∈ [3; 4] et ∀n ∈ N,
Données numériques : f (4) ≃ 3.65 ± 10−2
1
ln un
ln x
. On pose f (x) = 4 −
.
4
4
−2
et f (3) ≃ 3.72 ± 10
un+1 = 4 −
(a) Etudier la fonction f et montrer que l’intervalle [3; 4] est stable par f.
(b) Montrer que f possède un unique point fixe L sur l’intervalle [3; 4].
2
(c) Montrer que : ∀x ∈ [3; 4],
1
1
|un − L| puis que |un − L| 6 n .
10
10
(b) Que peut-on dire de la convergence de la suite u ?
(c) En choisissant u0 = 3, déterminer le plus petit entier n tel que | un − L |6 10−9 .
(d) A l’aide d’un tableur, donner une valeur approchée de L à 10−9 près (avec u0 = 3).
(a) Vérifier que ∀n > 0,
| f ′ (x) |6
1
.
10
|un+1 − L| 6
Exercice 11. 1 Montrer que l’équation x = 2 − 2e−x admet une unique solution r > 0. Vérifier que l’on a : 1 6 r 6 2.
2 On considère la suite u définie par : u = 1 et ∀n ∈N,
un+1 = 2 − 2e−un
0
On introduit également la fonction f définie sur R par : f (x) = 2 − 2e−x
(a) Justifier que [1, r] est stable par f et déterminer le signe de f (x) − x sur [1, r]
(b) Montrer que ∀n ∈ N, un ∈ [1, r] et donner la monotonie de u. (c) Justifier que la suite u converge vers r
2
3
(a) A l’aide de l’inégalité des accroissements finis, montrer que : ∀n ∈ N, |un+1 − r| 6 |un − r| puis que |un − r| 6
e
n
2
e
(b) Comment choisir n pour que |un − r| 6 10−9 ? A l’aide d’un tableur, donner une valeur approchée à 10−9 près de r.
Exercice 12.
On souhaite déterminer le nombre de solutions de (E) : x3 − 3x + 1 = 0 ainsi qu’une valeur approchée d’une des racines.
1
2
Montrer que l’équation (E) admet trois solutions réelles α, β et γ telles que α < −1 < β < 1 < γ
Obtention d’approximation de β.
x3 + 1
1
=x
(a) Justifier que β ∈ [0, ] et montrer que β est aussi solution de l’équation
2
3
x3 + 1
(b) On introduit la fonction g définie sur R par : ∀x ∈ R, g(x) =
.
3
1
1
1
Montrer que l’intervalle [0, ] est stable par g et que ∀x ∈ [0, ], |g ′ (x)| 6 .
2
2
4
On considère alors la suite u définie par u0 = 0 et ∀n ∈ N, un+1 = g(un )
1
(c) Montrer que ∀n ∈ N, un ∈ [0, ]
2
1
1
1
(d) Justifier que ∀n ∈ N, |un+1 − β| 6 |un − β| puis que |un − β| 6 n × .
4
4
2
(e) Pour quelles valeurs de n est-on certain que |un − β| 6 10−9 ? En déduire une valeur approchée à 10−9 près de β.
Exercice 13. EML 2001
On considère l’application f :]0; +∞[−→ R, définie, pour tout x de ]0; +∞[, par : f (x) =
1. (a) Calculer f ′ (x)
x
ex − 1
ex
(xex − 2ex + x + 2)
(ex − 1)3
(c) Etudier les variations de la fonction g : [0; +∞[→ R, définie, pour tout x de [0; +∞[, par :
(b) Montrer que ∀x ∈]0; +∞[,
f ′′ (x) =
g(x) = xex − 2ex + x + 2. En déduire :
∀x ∈]0; +∞[,
f ′′ (x) > 0.
1
(d) Dresser le tableau de variations de f (on admettra que f ′ (x) → + − ).
x→0
2
3. On considère la suite (un )n>0 définie par u0 = 0 et : ∀n ∈ N, un+1 = f (un ).
1
et 0 6 f (x) 6 1 (b) Résoudre l’équation f (x) = x, d’inconnue x ∈]0; +∞[.
(a) Montrer : ∀x ∈]0; +∞[, |f ′ (x)| 6
2
1
(c) Montrer : ∀n ∈ N |un+1 − ln 2| 6 |un − ln 2|. (d) Etablir que la suite (un )n>0 converge et déterminer sa limite.
2
Exercice 14.
√
Encadrer les nombres suivants à l’aide du théorème des accroissements finis : A = 10001 − 100, B =
Exercice 15.
1
1
1 Démontrer que pour tout entier n ≥ 1 :
≤ ln(n + 1) − ln(n) ≤
n+1
n
n
n
P
P
1
1
2 En déduire que
3 Déterminer
lim
k ≥ ln(n + 1).
k.
k=1
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1
0,99
− 1, C = ln(1, 01)
n→+∞ k=1
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