Bases en algorithmique

Bases en algorithmique
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I – Déclaration de variables
Déclarer nouvelle variable (instruction AlgoBox)
Variables
n1, taux, x22 : nombre ; 3 variables de type nombre
prenom, nom : chaîne ; 2 variables de type chaîne de caractères
tab : liste ;
1 variable de type liste (tableau à une seule ligne)
II – Le corps de l'algorithme : instructions basiques
1 – Lire une variable
Exemple: Ajouter LIRE variable (instruction AlgoBox)
...
Lire nom ; affiche une boîte de dialogue invitant l'utilisateur à taper la valeur de la variable nom.
Lire age ; affiche une boîte de dialogue invitant l'utilisateur à taper la valeur de la variable age.
...
2 – Affectation d'une valeur à une variable
Exemple: AFFECTER valeur à variable (instruction AlgoBox)
...
somme ← a + b ;
L'algorithme affecte la valeur a + b à la variable somme
...
3 – Afficher à l'écran la valeur d'une variable
Exemple: Ajouter AFFICHER variable (instruction AlgoBox)
...
Afficher somme ; L'algorithme affiche à l'écran le contenu de la variable somme
...
4 – Afficher une chaîne de caractères
Exemple: Ajouter AFFICHER Message (instruction AlgoBox)
...
Afficher "La somme est : " ; L'algorithme affiche à l'écran la chaîne de caractères La somme est :
...
5 – Afficher un commentaire
Exemple: Commentaire (instruction AlgoBox)
...
// Voici un programme qui ne sert à rien !
...
III – Le corps de l'algorithme : les tests
1 – Si … Alors …
Si condition Alors
Debut_Si
instructions
Fin_Si
La condition est une comparaison entre 2 valeurs du même type.
Les opérateurs de comparaison sont
, , , , , .
En langage Algobox, les opérateurs de comparaison s'écrivent
,!
,
,
,
,
.
La condition peut comporter plusieurs tests.
Les opérateurs logiques reliant ces tests sont ET , OU , NON.
• ( condition1 ) ET ( condition2 ) vraie, signifie que condition1 est vraie et que condition2 est vraie.
• ( condition1 ) OU ( condition2 ) vraie, signifie que condition1 est vraie ou que condition2 est vraie
ou que les 2 conditions sont vraies.
• NON ( condition1 ) vraie, signifie que condition1 est fausse.
2 – Si … Alors …Sinon
Si condition Alors
Debut_Si
instructions
Fin_Si
Sinon
Debut_Sinon
instructions
Fin_Sinon
IV – Le corps de l'algorithme : les boucles
1 – Pour … allant de … à … faire
Avec ce type de boucle, le nombre d'itérations (répétitions) est connu à l'avance. On utilise donc un compteur
qui, une fois atteint une certaine valeur, arrête l'exécution de la boucle. A chaque passage dans la boucle, le
compteur sera incrémenté (+1) ou décrémenté (–1) selon le cas.
Dans ce cas, l’expression utilisée est :
Pour var allant de valeur1 à valeur2 faire
Debut_Pour
instructions
Fin_Pour
2 – Tant que … faire
Avec ce type de boucle, on répète l'exécution d'un bloc d'instruction tant qu'une condition préalablement définie
est satisfaite. Le test s'effectue en début de boucle, à chaque passage.
Dans ce cas, l’expression utilisée est :
Tant que condition faire
Debut_Tant_que
instructions
Fin_Tant_que
Pourcentages et taux d'évolution
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I – Les pourcentages
1 - Appliquer un pourcentage
Propriété 1: Appliquer t % à un nombre, c'est multiplier ce nombre par
t
.
100

2 - Calculer un pourcentage
Propriété 2: En pourcentage, une partie q d'une quantité Q est égale à
q
 100 .
Q

3 - Évolution en pourcentage
t
.
100
t
– Diminuer une quantité de t % équivaut à la multiplier par 1 
.
100
Propriété 3: – Augmenter une quantité de t % équivaut à la multiplier par 1 


Vocabulaire : Le nombre t est appelé pourcentage d'évolution de Q0 à Q1.
II – Taux d'évolution
1 - Taux d'évolution et pourcentage d'évolution
Définition 1: On appelle taux d'évolution T de la quantité Q0 à la quantité Q1 le nombre T 
Q1  Q0
.
Q0
Propriété 4: Si t est le pourcentage d'évolution de Q0 à Q1 , et T le taux d'évolution de Q0 à Q1 alors :
T
t
et Q1  1  T  Q0
100

Remarque : – Lors d'une augmentation T  0 et lors d'une réduction T  0.
– Les quantités doivent être exprimées dans la même unité.
2 - Évolutions successives
Propriété 5: – Si T1 est le taux d'évolution de Q0 à Q1 , et T2 le taux d'évolution de Q1 à Q2 alors :
Q2  1  T1 1  T2  Q0
– Si T est le taux d'évolution de Q0 à Q2 alors 1  T  1  T1 1  T2  .

3 - Évolution réciproque
Définition 2: On appelle taux d'évolution réciproque de la quantité Q0 à la quantité Q1 le nombre
Q  Q1
T' 0
.
Q1
Propriété 6: Si T est le taux d'évolution de Q0 à Q1 et T’ le taux d'évolution réciproque de Q0 à Q1 alors :
1
1 T ' 
1 T

4 - Indices
Pour une lecture simplifiée des pourcentages d'évolution, on peut utiliser des indices.
La quantité de référence prend l'indice 100.
Les autres quantités prennent des indices proportionnellement au pourcentage d'évolution relatif à la quantité de
référence.

Second degré
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I – Forme canonique d'un polynôme de degré 2
Définition 1: On appelle fonction polynôme de degré 2 une fonction de la forme :
Pour tout x  , x  ax2 + bx + c avec a, b, c   et a ≠ 0 (forme développée)
Vocabulaire : Les réels a, b et c sont appelés les coefficients du polynôme.
Propriété 1: Pour toute fonction f : x  ax2 + bx + c avec a, b, c   et a ≠ 0, il existe deux réels uniques
α et β tels que : pour tout x  ,
( )
(
)
(forme canonique)

II – Résolution de l'équation ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Définition 2: On appelle discriminant du polynôme ax2  bx  c le réel   b2  4ac .
2
2


b  b2  4ac 
b 
 
Remarque : D'après ce qui précède, ax 2  bx  c  a  x 


a
x




 (a  0)



2a 
2a 
4a 2 
4a 2 


Propriété 2:
Résolution dans  de l'équation (E) : ax2  bx  c  0 avec a  0 .
b  
b  
et x2 
.
2a
2a
b
• Si  = 0 alors (E) a une solution (racine double) x0  
.
2a
• Si   0 alors (E) n'a pas de solution.
• Si   0 alors (E) a 2 solutions (racines) distinctes x1 

Propriété 3: Avec les notations de la propriété 2, on a :
• Si   0 alors ax2  bx  c  a ( x  x1 ) ( x  x2 ) .
• Si  = 0 alors ax2  bx  c  a ( x  x0 ) 2 .
• Si   0 alors l'expression ax2  bx  c ne peut pas être factorisée.
III – Signe d'un polynôme de degré 2
Propriété 4: Avec les notations de la propriété 2, on a :

est du signe de a lorsque x   ; x1    x2 ;  
• Si   0 et x1  x2 alors ax 2  bx  c 
.

est du signe contraire de a lorsque x   x1 ; x2 
• Si  = 0 alors ax2  bx  c est du signe de a lorsque x  x0 .
• Si   0 alors ax2  bx  c est du signe de a pour tout réel x.

IV – Représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2
Propriété 5: Soit f la fonction définie sur  par x  (
a
x
f(x)
–
)
avec a ≠ 0.
0
a

x

f(x)
–
0



Propriété 6: La représentation graphique d’une fonction définie sur  par x  a ( x   )2   avec a ≠ 0 est
une parabole de sommet S( , ). La droite parallèle à (O, y) passant par S d’équation x =  est
un axe de symétrie de la parabole.


Statistiques
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I – Indicateurs de dispersion d'une série statistique
Exemple : Série non triée
Le comptable d'une entreprise de dépannage a relevé le kilométrage de chaque véhicule pendant une semaine.
On a obtenu les nombres suivants, en kilomètres :
438
587
770
213
226
690
479
853
685
421
525
352
374
511
591
260
690
586
810
675
1 - Entrée des données dans la calculatrice CASIO GRAPH 35+
MENU  STAT  List 1
(on entre tous les nombres du tableau dans la liste 1)
2 - Réglages des paramètres "1 Var"
F6  CALC  SET  1Var XList : List 1
1Var Freq : 1
3 - Récupération des indicateurs de la série
F1
Attention à bien paramétrer sa calculatrice !
SHIFT  MENU 
Définition 1: • On appelle intervalle interquartile l'intervalle Q1 ;Q3  .
• On appelle écart interquartile la différence Q3  Q1 .
• On appelle diagramme en boîte le schéma ci-dessous réalisé à l'échelle :
Min
Q1
Med
Q3
Max
Remarque : L'intervalle interquartile mesure la dispersion de la série. En effet, il contient environ 50 % des
valeurs de la série.
Dans l'exemple précédent :
4 - Réglage des paramètres pour afficher le diagramme en boîte
Le diagramme en boîte est un schéma qui permet de visualiser la dispersion de la série statistique.
MENU  STAT  GRPH  SET
5 - Affichage du diagramme en boîte
MENU  STAT  GRPH  GPH1
Réglage V-Window : (Xscale : 100)
6 - Représentation graphique du diagramme en boîte
II – Indicateurs quantitatifs d'une série statistique
Définition 2: On appelle variance d'une série statstique dont les valeurs du caractère sont x1 , x2 ,..., xn
le nombre :
( x1  x )2  ...  ( xn  x )2
V
n
Définition 3: On appelle écart-type d'une série statistique de variance V le nombre :
 V
Remarque : L'écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne.
Plus il est grand, plus les valeurs sont dispersées et moins la moyenne est représentative des valeurs
de la série.
Dans l'exemple :
On a représenté toutes les valeurs de la série sur le diagramme ci-dessous, ainsi que l'écart entre la moyenne
et chaque valeur.
C'est approximativement la somme de ces écarts que mesure l'écart-type.
Avec la calculatrice :
écart-type
Dérivation
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I – Équations de droites
On se place dans un plan muni d'un repère.
Propriété 1: – Toute droite parallèle à l'axe des ordonnées a une équation de la forme :
x = a avec a réel fixé.
– Toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées a une équation réduite de la forme :
y = m x + p avec m , p réels fixés
Vocabulaire : – Le réel m s'appelle le coefficient directeur de la droite.
– Le réel p s'appelle l'ordonnée à l'origine.
Propriété 2: Un point appartient à une droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de cette
droite.

Remarque : L'équation de l'axe des abscisses (Ox) est y 0.
L'équation de l'axe des ordonnées (Oy) est x 0.
II – Nombre dérivé et tangente
1 - Coefficient directeur et pente
Propriété 3: Soit A( xA ; y A ) et B( xB ; yB ) deux points du plan tels que xA
yB y A
Le coefficient directeur de la droite (AB) est m
xB x A
xB .

B
yB
yB  y A
A
yA

xB  x A
H
( AB)
xA
xB

2 - Notion de tangente
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de  contenant a, et h un réel différent de zéro.
On appelle taux d'accroissement de f entre a et a + h le nombre T (h) 

f ( a  h)  f ( a )
.
h
Cf
f (a  h)
B
A
f (a)
tangente
( AB)
ah
a

3 - Nombre dérivé
Définition 1: On appelle, lorsqu'il existe, nombre dérivé de la fonction f en a le réel noté f '(a) tel que :
f '(a)  lim
h0
f ( a  h)  f ( a )
h
Remarque : Lorsque f '(a) existe, on dit que la fonction f est dérivable en a.
Propriété 4: Si f est dérivable en a alors la tangente à Cf au point d'abscisse a est la droite d'équation :
y  f '(a)( x  a)  f (a)

III – Fonction dérivée
1 - Définition de la fonction dérivée
Définition 2: Si une fonction f est dérivable en tout point d'un intervalle I de  alors on dit que f est
dérivable sur I.
On appelle fonction dérivée de f sur I, la fonction f ' : x
f '( x) définie sur I.

2 - Tableau des fonctions dérivées usuelles
Fonction
xn , n 
x
x

I=
x
n x n1
I=
x

1
I = ]– ; 0[  ]0 ; +[
x
, n 1
1
x
x
Dérivable sur I
0
k , k
x
x
Dérivée
x
x2
1
2 x
I =]0 ; +[
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I de .
Fonction
Dérivée
uv
u ' v '
k u , k 
k u'
uv
u ' v  u  v '
1
u
u '
u
v
u ' v  u  v '
u2
v2

IV – Signe de la dérivée et sens de variation
1 - Sens de variation
Propriété 5: Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Pour tout x  I,
si f '( x)  0 alors f est croissante sur I.
si f '( x)  0 alors f est décroissante sur I.
si f '( x)  0 alors f est constante sur I.

Propriété 6: Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Pour tout x  I,
si f est croissante sur I alors f '( x)  0.
si f est décroissante sur I alors f '( x)  0.
si f est constante sur I alors f '( x)  0.
2 - Extremum d'une fonction
Définition 3: Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel appartenant à I.
– On dit que f (a) est le maximum de la fonction f sur I, lorsque :
Pour tout réel x de I, f ( x)  f (a)
– On dit que f (a) est le minimum de la fonction f sur I, lorsque :
Pour tout réel x de I, f ( x)  f (a)
Propriété 7: Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et a un réel appartenant à I.
f ' s'annule en changeant de signe en a si et seulement si f admet un extremum
(maximum ou minimum) local en a.

Étude de fonctions
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I – La fonction affine
Définition 1: On appelle fonction affine une fonction définie sur  par x  ax + b avec a , b  .

II – La fonction carré
Définition 2: On appelle fonction carré la fonction définie sur  par x  x2.

Axe de symétrie
Cg

III – La fonction inverse
Définition 3: On appelle fonction inverse la fonction définie sur –

Centre de symétrie
Ch
[
[ par x 
1
.
x
IV – La fonction racine carrée
Définition 4: On appelle fonction racine carrée la fonction définie sur  0;   par x  x .

Ci

V – La fonction cube
Définition 5: On appelle fonction cube la fonction définie sur  par x  x3 .

Cj

Variables aléatoires
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I – Variable aléatoire et loi de probabilité
1 - Définition d'une variable aléatoire
On note E l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire appelé univers.
Définition 1: On appelle variable aléatoire X une fonction qui à chaque issue de E associe un réel.

2 - Loi de probabilité
Notation : On note X = x l'ensemble des antécédents de x par X.
L'ensemble des antécédents de x par X est un ensemble d'issues donc c'est un évènement.

Définition 2: On appelle loi de probabilité de X la fonction qui à chaque évènement X = x associe sa
probabilité p .
Notation : On présente une loi de probabilité sous la forme d'un tableau.
x
x1
x2
…
xn
p (X = x)
p1
p2
…
pn

Propriété 1: Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x1 , x2 ,..., xn avec les probabilités p1 , p2 ,..., pn :
• Pour tout i  [1 , n], 0  pi  1 .
• p1  p2  ...  pn  1
3 - Espérance mathématique
Définition 3: On appelle espérance mathématique d'une variable aléatoire X prenant les valeurs
x1 , x2 ,..., xn avec les probabilités p1 , p2 ,..., pn le réel :
E ( X )  x1  p1  x2  p2  ...  xn  pn

Remarque : L'espérance mathématique de la variable aléatoire X s'interprète comme la moyenne des valeurs
prises par X pondérées par leur fréquence d'apparition lorsqu'on répète un grand nombre de fois
l'expérience aléatoire.
Dans le langage des jeux, l'espérance mathématique correspond au gain moyen. Si E ( X )  0 alors le
jeu est équitable.
II – Répétition d'expériences identiques et indépendantes
Définition 4: On dit que 2 expériences sont indépendantes si le résultat de l'une n'a aucune influence sur le
résultat de l'autre.

Propriété 2: Sur un arbre pondéré représentant la répétition d'expériences aléatoires identiques et
indépendantes, la probabilité d'une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque
résultat.

Les suites numériques
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Définition 1: On appelle suite  un  une fonction définie sur
et à valeurs dans
.
L'image de l'entier naturel n se note un et est appelé le terme général de la suite  un  .
Remarque : Le terme général de la suite est aussi appelé terme de rang n ou terme d'indice n .
1 - Suite définie par une relation explicite
Soit f une fonction définie sur
et (un ) la suite définie par : pour tout n  , un  f (n) .
Dans ce cas, on peut calculer directement n'importe quel terme de la suite.

2 - Suite définie par une relation de récurrence
u0 donné
et (un ) la suite définie par : 
.
pour tout n  , un1  f (un )
Dans ce cas, pour calculer un terme de la suite, il faut connaître la valeur du terme précédent.
Soit f une fonction définie sur

3 - Représentation graphique d'une suite
Définition 2: On appelle représentation graphique d'une suite  un  dans un repère l'ensemble des points de
coordonnées  n ; un  où n parcourt
.

4 - Sens de variation d'une suite
Définition 3: On dit qu'une suite est croissante lorsque pour tout n  , un1  un .
On dit qu'une suite est constante lorsque pour tout n  , un1  un .
On dit qu'une suite est décroissante lorsque pour tout n  , un1  un .
Remarque : Lorsque l'inégalité est stricte, on dit que la suite est strictement croissante ou
strictement décroissante.

Propriété 1: Soit f une fonction définie sur  0;   et  un  la suite définie par : pour tout n  , un  f (n) .
– Si f est croissante sur  0;   alors  un  est croissante.
– Si f est décroissante sur  0;   alors  un  est décroissante.
Loi binomiale
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I – Loi de Bernoulli de paramètre p
Définition 1: On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p une expérience aléatoire ayant 2 issues :
succès avec une probabilité égale à p et échec.

Définition 2: On appelle variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p la variable aléatoire X qui associe
la valeur 1 à un succès avec la probabilité p et la valeur 0 à un échec avec la probabilité 1 – p.

Définition 3: On appelle loi de Bernoulli de paramètre p la loi de probabilité de la variable aléatoire de
Bernoulli X de paramètre p.
x
0
1
p ( X  x)
1 p
p

Propriété 1: L'espérance mathématique d'une variable aléatoire de Bernoulli X de paramètre p est :
E (X )  p

II – Loi binomiale de paramètres n et p
Définition 4: On appelle schéma de Bernoulli de paramètres n et p l'expérience aléatoire qui consiste à
répéter n épreuves de Bernoulli de paramètre p identiques et indépendantes.
Arbre associé au schéma de Bernoulli
n=3
n=2
Succès
p
1–p
Succès
1–p
Échec
p
Succès
1–p
Échec
p
Succès
1–p
Échec
p
Succès
1–p
Échec
Échec
Succès
p
1–p
p
Succès
p
Échec
1–p
Échec
Définition 5: On appelle loi binomiale de paramètres n et p , notée  (n , p), la loi de probabilité de la
variable aléatoire qui associe au schéma de Bernoulli de paramètres n et p le nombre de succès.
k
0
1
…
n
p (X  k)
p ( X  0)
p ( X  1)
…
p ( X  n)

n
Définition 6: On appelle coefficient binomial , noté   , le nombre de chemins réalisant k succès dans le
k 
schéma de Bernoulli de paramètres n et p .

Propriété 2: La loi binomiale  (n , p) vérifie :
n
Pour tout k  [0 , n], p ( X  k )     p k  (1  p)nk
k 


Propriété 3: L'espérance de la loi binomiale  (n , p), notée  , est :
  n p

III – Représentation graphique de la loi binomiale
On représente la loi binomiale avec un diagramme en bâtons : – En abscisse, le nombre de succès
– En ordonnée, la probabilité correspondante


Échantillonnage
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I – Rappel sur la notion d'échantillonnage
Définition 1: Un échantillon de taille n est constitué des résultats de n répétitions indépendantes de la même
expérience.
Remarque : L'échantillonnage est le prélèvement d'un échantillon dans une population.
Définition 2: On appelle fluctuation d'échantillonnage la variation de la distribution des fréquences d'un
échantillon à l'autre.

Propriété 1: Soit n un entier et p un réel tels que n  25 et 0, 2  p  0,8 .
Si on répète n fois une épreuve de Bernouilli de paramètre p alors la fréquence d'apparition d'un

1
1 
; p
succès f appartient à  p 
 au moins 95 % des fois.
n
n


1
1 
; p
Remarque : L'intervalle  p 
 est appelé intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.
n
n


II – Utilisation de la loi binomiale
Propriété 2: Si on répète n fois une épreuve de Bernouilli de paramètre p alors la fréquence d'apparition f
d'un succès suit une loi binomiale de paramètres n et p.
1
Exemple de représentation graphique (histogramme) de la loi binomiale B ( 50, )
3
p ( X  x)
0,10
0,05
0,01
0
5
10
15
20
25
30
Nombre de
succès
35 X = x
Propriété 3: L'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence d'apparition f d'un succès sur un
a b
échantillon de taille n est  ,  , où a est le plus petit entier tel que p ( X  a)  0,025 et
n n
b est le plus petit entier tel que p ( X  b)  0,975 .

Data : Variable
Area : 0.025
Numtrial : 50
p : 0.333333333
Save Res : None
Data : Variable
Area : 0.975
Numtrial : 50
p : 0.333333333
Save Res : None


1
1 
; p
Remarque : • D'après la propriété 1, f   p 
 donc f  [0,19 ; 0,47].
n
n

La loi binomiale permet d'obtenir un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % plus petit donc plus
précis.
• En pratique, si le taux d'échantillonnage est inférieur à 10 %, on peut appliquer la propriété 2 avec
un tirage sans remise.
Suites arithmétiques et géométriques
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I - Les suites arithmétiques
Définition 1: On appelle suite arithmétique  un  une suite définie par son premier terme et la relation de
récurrence : pour tout n  , un1  un  r , r 
Vocabulaire : Le nombre r est appelé raison de la suite arithmétique.

Remarque : Elle décrit bien les phénomènes dont la variation absolue est constante au cours du temps,
comme l'évolution d'un compte bancaire à intérêts simples, c’est-à-dire lorsque les intérêts sont
calculés uniquement sur le capital.

Propriété 1: • Soit  un  une suite arithmétique de raison r alors pour tout n  , un  u0  n r .
• Une suite  un  de terme général un  an  b avec a, b 
est une suite arithmétique.
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Conséquence : Si (un ) est une suite arithmétique alors les points (n ; un ) sont alignés.
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Remarque : Une suite arithmétique caractérise une évolution linéaire.
Propriété 2: Soit  un  une suite arithmétique de raison r .
pour tout n, p  , un  u p  (n  p) r
II - Les suites géométriques
Définition 2: On appelle suite géométrique  vn  une suite définie par son premier terme et la relation de
récurrence : pour tout n  , vn1  q vn , q 
Vocabulaire : Le nombre q est appelé raison de la suite géométrique.
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Propriété 3: Soit  vn  une suite géométrique de raison q  0 alors pour tout n  , vn  v0  q n .
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Remarque : Elle décrit bien les phénomènes dont la variation relative est constante au cours du temps,
comme l'évolution d'un compte bancaire à intérêts composés, c’est-à-dire lorsque les intérêts sont
calculés sur un capital dont la valeur change au cours du temps.
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Remarque : Une suite géométrique caractérise une évolution exponentielle.
Propriété 4: Soit  vn  une suite géométrique de raison q  0 alors pour tout n, p  , vn  v p  q n p .

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