DEVOIR MAISON no 4 TS pour le 28 novembre 2014 Exercice 1 Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x + e−x . 1 + e−x 1. a. Déterminer la limite en +∞. x ex +1 b. Montrer que f (x) = x . En déduire la limite en −∞. e +1 2. On pose g la fonction définie sur R par g(x) = x + ex . a. Montrer que l’équation g(x) = 0 admet sur R une unique solution α dont on donnera un encadrement d’amplitude 10−1 près. b. Montrer que f ′ (x) est du signe de g(x) sur R. Dresser le tableau de variations de g sur R. c. Montrer que f (α) = α + 1. 3. Démontrer que la courbe de f coupe la droite (d) d’équation : y = x en un seul point de coordonnées (1 ; 1). 4. On considère la suite (un ) définie par u0 = 3 et pour tout entier naturel n, un+1 = f (un ). a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un . b. Démontrer que la suite (un ) est convergente. c. Ecrire un algorithme dans lequel on entre un réel positif A et qui affiche le plus petit entier n tel que : un < 1+ A. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que : un < 1, 01.
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