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Continuité, dérivabilité et convexité
A) Fonction dérivée et sens de variation.
1. Fonction dérivée.
Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et telle que, en toute valeur x ∈ I , le nombre
dérivée f ' ( x) existe.
La fonction f ' , qui à tout réel x ∈ I , associe le nombre dérivé, est la fonction dérivée de f sur
l'intervalle I.
Remarque : Dire que f est dérivable en a signifie que le nombre dérivé f ' (a ) existe donc que la
tangente à la courbe C f en A(a ; f (a) ) existe. Ainsi, sur I, en chaque point, la courbe a une tangente.
2. Sens de variation et dérivée.
Théorème :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
• Si la dérivée est positive sur I, alors la fonction est croissante sur I.
• Si la dérivée est négative sur I, alors la fonction est décroissante sur I.
• Si la dérivée est nulle en toute valeur de I, alors la fonction est constante sur I.
Remarque : De l’étude du signe de la dérivée, on déduit le sens de variation d'une fonction grâce à ce
théorème. Mais aussi, réciproquement, le sens de variation d'une fonction dérivable indique le signe de
sa fonction dérivée.
Exemple :
On considère une fonction f dont on connaît le signe de la dérivée et quelques valeurs.
Alors, on peut dresser le tableau de variations de cette fonction.
• Sur [a ; c] la dérivée est positive, donc la fonction est croissante.
• Sur [c ; b] la dérivée est négative, donc la fonction est décroissante.
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Propriété :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle [a ; b] et c ∈ [a ; b] .
Si la dérivée s'annule en changeant de signe en c alors la fonction f admet, en c , un extremum
sur l'intervalle [a ; b] .
Exercice n°1 :
On considère une fonction f définie sur l'intervalle [− 2 ; 4] de courbe représentative C f .
La courbe C f passe par les points A(− 1 ; 2,7 ) et B(0 ; 2) .
Elle admet au point A une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
La tangente T à la courbe C f au point B passe par le point D(2 ; 0) .
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Calculer le nombre dérivé de f en − 1 .
Déterminer l’équation de la tangente T .
Calculer f ' (0) .
Déterminer le signe de f ' (2) .
Déterminer le signe de f ' ( x) sur [− 2 ; 4] .
Dresser le tableau de variations de f sur [− 2 ; 4] .
Exercice n°2 :
On donne la courbe représentative C ' de la fonction dérivée d’une fonction f dérivable sur IR.
Construire le tableau de variations de la fonction f .
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B) Calcul de dérivées.
1. Dérivées des fonctions usuelles.
Théorème :
Fonction f
f ( x) = k
f ( x) = x
f ( x) = x 2
Fonction dérivée f ’
f ' ( x) = 0
f ' ( x) = 1
f ' ( x) = 2 x
Ensemble de dérivabilité
IR
IR
IR
f ( x) = x 3
f ' ( x) = 3x 2
IR
f ( x) = x n
n entier non nul
f ' ( x) = nx n −1
f ' ( x) =
f ( x) = x
f ( x) =
1
2 x
1
f ' ( x) = − 2
x
1
x



IR si n > 0
IR∗ si n < 0
]0 ; + ∞[
IR∗
2. Dérivées d’une fonction somme et produit par un réel.
Propriétés :
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I et k un réel.
Fonction f
Fonction dérivée f ’
Ensemble de dérivabilité
f ( x ) = u ( x ) + v ( x)
f ' ( x) = u ' ( x) + v' ( x)
I
f ( x ) = k × u ( x)
f ' ( x) = k × u ' ( x)
I
3. Dérivées d’un produit ou d’un quotient.
Propriétés :
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I .
On suppose de plus que v( x) ≠ 0 sur I .
Fonction f
Fonction dérivée f ’
Ensemble de dérivabilité
f ( x) = u ( x) × v( x)
f ' ( x) = u ' ( x)v( x) + v' ( x)u ( x)
I
f ( x) =
1
v( x )
f ( x) =
u ( x)
v( x)
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− v' ( x)
I
u ' ( x)v( x) − v' ( x)u ( x)
I
f ' ( x) =
f ' ( x) =
(v( x))2
(v( x) )2
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Exercice n°3 :
Dériver chacune des fonctions suivantes sans vous soucier du domaine de dérivation :
1) f ( x) = 2 x 3 − 4 x 2 − 3 x + 7 .
2)
3)
f ( x) = 2 x 4 + 3 x + x .
4)
f ( x) = x x + 10 .
5)
f ( x) =
6)
f ( x) = 3x + 5 −
(
)
f ( x) = 3 x 2 + x − 1 (2 x + 3) .
x2 +1
.
2x + 3
10
.
2x 2 + 3
Exercice n°4:
Le coût, en euros, de x ∈ [40 ; 160] repas préparés dans un restaurant peut s’écrire :
C ( x) = 0,1x 2 − x + 640 . On note CM (x) le coût moyen de x repas, en euros par repas.
C (x )
On rappelle que : pour tout x ∈ [40 ; 160] on a : CM ( x) =
x
1) Justifier que C est croissante sur [40 ; 160] .
2) Calculer le coût moyen de 40 puis de 100 repas.
3) Etudier les variations du coût moyen CM .
4) Dresser le tableau de variations de CM sur [40 ; 160] .
5) Quel est le nombre de repas à servir pour que le coût moyen par repas soit minimal ?
Exercice n°5 :
Dans le Périgord, un producteur de truffes noires cultive, ramasse et conditionne de 1 à 45kg de
truffes par semaine durant la période de production de la truffe.
Chaque kilo de truffes est vendu 950€.
On désigne par f ( x) le coût moyen, en euro par kg, pour x kg de truffes traitées en une semaine.
On estime que la fonction f est définie sur [1 ; 45] par : f ( x) = x 2 − 60 x + 1250 .
C (x )
On rappelle que pour tout x ∈ [1 ; 45] on a : f ( x) = CM ( x ) =
.
x
1) Justifier que le coût de production total C ( x) pour x kg de truffes est donné, en euro, par :
2)
3)
4)
5)
6)
C ( x) = x 3 − 60 x 2 + 1250 x .
Exprimer le bénéfice, B ( x) , en euros, réalisé par ce producteur pour x kg de truffes
conditionnés et vendus.
Etudier les variations de B sur [1 ; 45] .
Dresser le tableau de variations de B sur [1 ; 45] .
Pour quelle quantité de truffes le bénéfice du producteur est-il maximal ?
Arrondir le résultat à 100g près.
Quel est alors ce bénéfice maximal à 100€ près ?
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C) Continuité et équation.
1. Notion intuitive de continuité.
Définition :
Une fonction f est continue sur un intervalle I si elle est définie sur cet intervalle et si sa
courbe C f se trace d’un « trait continu », sans le ver le crayon.
Exemples :
Théorème :
• Une fonction obtenue par opérations sur les fonctions usuelles est continue sur chaque
intervalle où elle est définie. Ainsi, les fonctions polynômes, rationnelles et irrationnelles
sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition.
• Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.
Remarque : Une fonction peut être continue mais pas dérivable.
La représentation graphique ci-contre est celle d’une fonction f
continue en 2 mais non dérivable en 2.
2. Théorème des valeurs intermédiaires.
Théorème :
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle
[a ; b] et k un nombre réel compris entre f (a ) et f (b) alors
l’équation f ( x) = k admet au moins une solution sur [a ; b] .
Théorème :
Soit f une fonction définie, continue et strictement monotone
sur un intervalle [a ; b] et k un nombre réel compris entre
f (a ) et f (b) alors l’équation f ( x) = k admet une unique
solution sur l’intervalle [a ; b] .
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Exercice n°6 :
Indiquer parmi les courbes représentées celles qui correspondent à une fonction continue sur
[− 6 ; 4] et celles qui sont dérivables sur [− 6 ; 4].
Exercice n°7 :
2 x − 1 si x < 1
On considère la fonction f définie sur IR par : f ( x) =  2
.
si x ≥ 1
x
1) Représenter la courbe de cette fonction f .
2) Emettre une conjecture quant à sa continuité et sa dérivabilité.
3) Justifier la conjecture sur la continuité.
Exercice n°8 :
Soit f la fonction définie sur [− 4 ; 7] dont le tableau de variations est donné ci-dessous :
Déterminer le nombre de solutions des équations suivantes : f ( x) = −8 f ( x) = 15 et f ( x) = 2 .
Exercice n°9 :
On cherche à résoudre l’équation 2 x 3 + 3 x 2 − 36 x + 10 = 0 sur [− 6 ; 4] .
1) Etudier, sur [− 6 ; 4] , les variations de la fonction, f , ainsi définie.
2) Dresser le tableau de variations de f sur [− 6 ; 4] .
3) En déduire le nombre de solutions de l’équation.
4) Donner une valeur approchée à 0,01 près de chacune de ces solutions.
Exercice n°10 :
On considère la fonction f définie sur [0 ; 5] par : f ( x) = x 2 +
1) Montrer que pour tout réel x ∈ [0 ; 5] : f ' ( x) =
10
.
x +1
2 x 3 + 4 x 2 + 2 x − 10
(x + 1)2
.
2) Soit g la fonction définie sur [0 ; 5] par : g ( x) = 2 x 3 + 4 x 2 + 2 x − 10 .
a) Montrer que g est strictement croissante sur [0 ; 5] .
b) Montrer que g s’annule en une seule valeur α ∈ [0 ; 5] .
c) Donner une valeur approchée de α à 0,01 près et en déduire le signe de g sur [0 ; 5] .
3) En déduire les variations et dresser le tableau de variations de f sur [0 ; 5] .
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Exercice n°11 : Bac ES Polynésie 2014
Les antibiotiques sont des molécules possédant la propriété de tuer des bactéries ou d’en limiter
la propagation. Le tableau ci-dessous donne la concentration dans le sang en fonction du temps
d’un antibiotique injecté en une seule prise à un patient.
Ces données conduisent à la modélisation de la concentration en fonction du temps par la
4t
fonction g définie sur l’intervalle [0 ; 10] par : g (t ) = 2
.
t +1
Lorsque t représente le temps écoulé, en heures, depuis l’injection de l’antibiotique, g (t )
représente la concentration en mg / l de l’antibiotique.
Le graphique ci-dessous représente les données du tableau et la courbe représentative de la
fonction g .
1) Par lecture graphique donner sans justification :
a) les variations de la fonction g sur [0 ; 10] ;
b) la concentration maximale d’antibiotique lors des 10 premières heures ;
c) l’intervalle de temps pendant lequel la concentration de l’antibiotique dans le sang est
supérieure à 1,2 mg / l .
2) La fonction g est dérivable sur l’intervalle [0 ; 10] et sa dérivée est g ' .
Montrer que : g ' (t ) =
(
4 1− t2
(t
)
).
2
+1
3) En utilisant l’expression de g' (t ) , montrer que la concentration maximale serait, avec cette
modélisation, atteinte exactement 1 heure après l’injection.
4) On définit la CMI (Concentration Minimale Inhibitrice) d’un antibiotique comme étant la
concentration au dessus de laquelle les bactéries ne peuvent plus se multiplier. La CMI de
l’antibiotique injecté est 1,2 mg / l .
Déterminer, par le calcul, le temps d’antibiotique utile c’est-à-dire la durée pendant laquelle
la concentration de l’antibiotique étudié est supérieure à sa CMI.
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Exercice n°12 : Bac ES Polynésie 2014
Une entreprise fabrique chaque jour des objets. Cette production ne peut dépasser 700 objets par
jour. On modélise le coût total de production par une fonction C .
Lorsque x désigne le nombre d’objets fabriqués, exprimé en centaines, C ( x ) , le coût total
correspondant, est exprimé en centaines d’euros.
La courbe représentative de la fonction C est donnée en ci-dessous :
Partie A :
Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes en arrondissant au mieux.
1) Quel est le coût total de production pour 450 objets ?
2) Combien d’objets sont produits pour un coût total de 60 000 euros ? On considère que le coût
marginal est donné par la fonction C ' dérivée de la fonction C .
3) Estimer le coût marginal pour une production de 450 objets puis de 600 objets.
4) Que pensez-vous de l’affirmation : « le coût marginal est croissant sur [0 ; 7] » ?
Partie B :
Le prix de vente de chacun de ces objets est de 75 euros.
1) On note r la fonction « recette ». Pour tout nombre réel x dans l’intervalle [0 ; 7] , r ( x ) est
le prix de vente, en centaines d’euros, de x centaines d’objets.
Représenter la fonction r dans le repère ci-dessus.
2) En utilisant les représentations graphiques, répondre aux questions qui suivent.
a) En supposant que tous les objets produits sont vendus, quelle est, pour l’entreprise, la
fourchette maximale de rentabilité ? Justifier la réponse.
b) Que penser de l’affirmation : « il est préférable pour l’entreprise de fabriquer 500 objets
plutôt que 600 objets » ?
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D) Convexité et point d’inflexion.
1. Convexité : approches graphiques.
Définition : Fonction convexe
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR.
On note C f la courbe représentative de la fonction f sur I .
Soient A(a ; f (a) ) et B(b ; f (b) ) deux points de C f .
Si tous les points de [ AB] distincts de A et B sont au dessus de C f
entre A et B alors on dit que la fonction f est convexe sur I.
Définition : Fonction concave
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR..
On note C f la courbe représentative de la fonction f sur I .
Soient A(a ; f (a) ) et B(b ; f (b) ) deux points de C f .
Si tous les points de [ AB] distincts de A et B sont en dessous de C f
entre A et B alors on dit que la fonction f est concave sur I.
Propriétés :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR. et C f sa représentative graphique.
•
•
f est convexe sur I si et seulement si sa représentation graphique C f est située entièrement
au dessus de chacune de ses tangentes.
f est concave sur I si et seulement si sa représentation graphique C f est située entièrement
en dessous de chacune de ses tangentes.
Exemples :
• La fonction carrée x a x 2 est convexe sur IR.
1
• La fonction inverse x a est concave sur ]− ∞ ; 0[ et convexe sur ]0 ; + ∞[ .
x
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2. Convexité : approches algébriques.
Propriété : Admise
• f est une fonction convexe sur un intervalle I si et seulement si sa dérivée f ' est croissante
sur l’intervalle I .
• f est une fonction concave sur un intervalle I si et seulement si sa dérivée f ' est
décroissante sur l’intervalle I .
Conséquences :
On note f ' ' la dérivée seconde de la fonction f , c'est-à-dire la dérivée de la dérivée de f .
• Si f ' ' est positive sur un intervalle I alors f est convexe sur l’intervalle I .
• Si f ' ' est négative sur un intervalle I alors f est concave sur l’intervalle I .
3. Point d’inflexion.
Définition :
Un point d’inflexion est un point où la représentation graphique d’une fonction traverse sa
tangente en ce point.
Attention : Dans les deux cas suivants, M n’est pas un point d’inflexion.
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Conséquence :
Si une fonction f définie sur un intervalle [a ; b] change de convexité en c ∈ [a ; b] alors C f
admet un point d’inflexion au point d’abscisse c .
Conséquence :
Si la dérivée seconde f ' ' d’une fonction f définie sur un intervalle [a ; b] s’annule et change
de signe en c ∈ [a ; b] alors C f admet un point d’inflexion au point d’abscisse c .
Exercice n°13 :
Pour chacune des courbes des fonctions ci-dessous, par lecture graphique, indiquer :
• La convexité de la fonction.
• L’existence d’un ou plusieurs points d’inflexion.
Exercice n°14 :
On considère la fonction f dérivable sur [− 2 ; 5] et telle que la dérivée f ' admet le tableau de
variations suivant :
Indiquer la convexité de la fonction f sur [− 2 ; 5] et l’existence, pour la courbe C f de points
d’inflexions.
Exercice n°15 :
On considère la fonction f dérivable sur [− 1 ; 3] telle que sa dérivée f ' soit dérivable sur
[− 1 ; 3] et dont la courbe de sa dérivée seconde f ' ' est donnée ci-dessous.
Indiquer la convexité de la fonction f sur [− 1 ; 3] et l’existence, pour la courbe C f de points
d’inflexions.
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Exercice n°16 :
On note f la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par : f ( x) = 2 −
3
et C f sa courbe représentative.
x
1) En visualisant C f sur votre calculatrice, conjecturer la convexité de la fonction f .
2) A l’aide de cette visualisation de C f , conjecturer les variations de la dérivée f ' de la
3)
4)
5)
6)
fonction f sur ]0 ; + ∞[ .
Calculer la dérivée f ' et en déduire que la fonction f est croissante sur ]0 ; + ∞[ .
Calculer la dérivée f ' ' de la fonction f ' sur ]0 ; + ∞[ .
Etudier la signe de f ' ' sur ]0 ; + ∞[ et indiquer les variations de f ' sur ]0 ; + ∞[ .
En déduire la convexité de la fonction f suivant les valeurs de x .
Exercice n°17 : Bac ES Doha 2013
On considère la fonction f définie sur [2 ; 8] par : f ( x) =
− x 2 + 10 x − 16
x2
On note C f la courbe représentative dans un repère.
1) Montrer que pour tout réel de l’intervalle [2 ; 8] , on a : f ' ( x) =
− 10 x + 32
.
x3
2) Etudier le signe de f ' ( x) sur l’intervalle [2 ; 8] .
3) En déduire le tableau de variations de f sur l’intervalle [2 ; 8] .
4) Déterminer l’équation de la tangente à C f au point d’abscisse 2.
5) On appelle f ' ' la dérivée seconde de f sur [2 ; 8] .
a) Montrer que, pour tout réel x ∈ [2 ; 8] , on a : f ' ' ( x) =
20 x − 96
.
x4
b) Montrer que f est une fonction convexe sur [4,8 ; 8] .
c) Montrer que le point de C f d’abscisse 4,8 est un point d’inflexion.
Exercice n°18 : Bac ES Centre étrangers 2011
On considère la fonction f définie et dérivable sur
I = [0,2 ; 1,2] et on note f ' sa dérivée sur cet intervalle.
En utilisant un logiciel de calcul formel on a pu établir
les informations ci-contre. A la lecture de ces
informations, répondre aux questions suivantes :
1) Quelles sont les valeurs approchées de f (0,2) , f (1)
et f (1,2) ?
2) Quelle est l’expression de f ' ( x) ?
3) Déterminer le signe de f ' ( x) sur l’intervalle I et
donner le tableau de variations de f .
4) Montrer que sur l’intervalle [0,2 ; 1] l’équation
f ( x) = 1,9 admet une unique solution α.
5) Donner une valeur approchée à 0,01 près de α.
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Exercice n°19 :
Soit f la fonction définie sur [− 5 ; 5] par : f ( x ) = 2 x 3 + x 2 + ax + b (où a et b sont des
nombres réels) et C f sa courbe représentative.
C f passe par les points A(1 ; − 1) .
La droite ( AB ) est tangente en A à C f et les coordonnées de B sont : B(3 ; 3) .
Partie A :
1) Donner f (1) en justifiant votre réponse.
2) Déterminer, sur ce graphique, le nombre de solutions de l’équation f ' ( x ) = 0 .
3) L’affirmation f ' (− 0,5) > 0 est-elle exacte ? Pourquoi ?
4) Déterminer l’équation réduite de ( AB ) et en déduire la valeur de f ' (1) .
5) La courbe C f semble-t-elle admettre un point d’inflexion ?
Si tel est le cas, donner une valeur approchée de l’abscisse de ce point.
6) En utilisant les résultats des questions 1) et 4) déterminer les valeurs de a et b.
Partie B :
Soit g la fonction définie sur [− 5 ; 5] par : g ( x ) = 2 x 3 + x 2 − 6 x + 2 .
On note C g sa courbe représentative.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Calculer la dérivée, g ' , de g sur [− 5 ; 5].
En déduire les variations de g sur [− 5 ; 5] et dresser son tableau de variations.
Montrer que l’équation g ( x) = −2 admet une unique solution α sur [− 5 ; − 2] .
Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une valeur approchée de α à 0,01 près.
Justifier que l’équation g ( x) = −2 n’admet aucune solution sur [− 2 ; 5] .
Déterminer l’équation de la tangente à C g au point d’abscisse –1.
7) Calculer la dérivée seconde, g ' ' , de g sur [− 5 ; 5].
8) Etudier la convexité de la fonction g et démontrer que la courbe représentative C g de g
admet un point d’inflexion dont on déterminera les coordonnées.
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Exercice n°20 :
Soit f une fonction deux fois dérivable sur IR.
On note f ' sa dérivée et f ' ' sa dérivée seconde.
La courbe représentative de la fonction dérivée notée C f ' est donnée ci dessous.
La droite T est tangente à la courbe C f ' au point d’abscisse 0.
1) Par lecture graphique :
a) Résoudre f ' ( x ) = 0 .
b) Résoudre f ' ' ( x ) = 0 .
c) Déterminer f ' ' (0) .
2) Une des quatre courbes C1 , C 2 , C 3 et C 4 ci-dessous est la courbe représentative de la
fonction f et une autre la courbe représentative de la dérivée seconde f ' ' .
a) Déterminer la courbe qui représente f et celle qui représente f ' ' .
b) En déduire l’équation de la tangente à C f au point d’abscisse –2.
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Interrogation de mathématiques
Exercices préparés à la maison
Niveau : TES
Thème : Continuité, dérivabilité et convexité
Exercice n°1 :
Une entreprise produit et commercialise un article A. Sa capacité de production mensuelle est
limitée à 12 milliers d’articles. Soit CT la fonction définie pour tout réel x élément de
l’intervalle [0 ; 12] par : CT ( x ) = x 3 + x 2 + 363
La fonction CT modélise sur l’intervalle [0 ; 12] le coût total de production exprimé en milliers
d’euros, où x désigne le nombre de milliers d’articles fabriqués.
La courbe représentative de la fonction coût total, notée C , est donnée ci-dessous :
Partie A :
1) Justifier que la fonction CT est strictement croissante sur [0 ; 12] .
2) Montrer que l’équation CT ( x ) = 2 000 admet une unique solution sur [0 ; 12] .
3) L’entreprise souhaite limiter son coût de production mensuel à 2000 milliers d’euros. Quel
est, arrondi à la centaine d’articles près, le nombre maximal d’articles qu’elle peut produire
chaque mois ?
Partie B :
On note CM ( x ) le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué.
C (x )
On rappelle que CM ( x ) = T
avec x ∈ ]0 ; 12].
x
On note CM ' la fonction dérivée de CM sur l’intervalle ]0 ; 12] .
1) Calculer CM ' ( x ) .
2) Vérifier que pour tout x ∈ ]0 ; 12] on a : CM ' ( x ) =
(2 x − 11)(x 2 + 6 x + 33) .
x2
3) Etudier les variations de la fonction CM sur ]0 ; 12] .
4) Déterminer le nombre d’articles qu’il faut produire pour que le coût moyen soit minimal.
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Exercice n°2 :
Une épidémie a frappé les habitants d’une ville. Le nombre de personnes malades en fonction du
temps t exprimé en jour depuis le début de la maladie est modélisé par la fonction f définie sur
[0 ; 30] par : f (t ) = at 3 + 30t 2 + bt (où a ≠ 0 et b sont des nombres réels) et dont la courbe
représentative C f est donnée ci-dessous. C f passe par les points A(10 ; 2000) et C (20 ; 4000) .
La droite ( AB ) est tangente en A à C f et les coordonnées de B sont : B(16 ; 3800) .
C f admet une tangente horizontale en C .
Partie A :
1) Donner f (10) et f ' (20) en justifiant vos réponses.
2) Les affirmations f ' (23) > 0 et f ' ' (23) < 0 sont-elles exactes ? Pourquoi ?
3) Déterminer la valeur de f ' (10) .
4) C f semble-t-elle admettre un point d’inflexion ? Si oui quelle est l’abscisse de ce point ?
5) En utilisant les résultats de la question 1), déterminer les valeurs de a et b.
Partie B :
On admet que la fonction recherchée est la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 30] par :
f (t ) = −t 3 + 30t 2 et que la vitesse de propagation de la maladie au jour t est assimilée au
nombre dérivé f ' (t ) . On note f ' ' la dérivée seconde de f sur [0 ; 30] .
1) Etudier les variations de la fonction f sur [0 ; 30] .
2) Montrer que, sur [20 ; 30] , l’équation f (t ) = 1000 admet une unique solution α .
Déterminer un encadrement à l’entier près de la solution non entière.
3) Montrer que pour tout t ∈ [0 ; 30] on a : f ' ' (t ) = −6t + 60 .
4) En déduire la convexité de la fonction f sur [0 ; 30] .
5) Démontrer que la courbe C f admet un point d’inflexion. Interpréter ce résultat.
6) Déterminer l’équation de la tangente à C f au point d’abscisse 1.
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Année 2014 – 2015
TES
M. Evanno
Exercice n°3 :
Dans un pays du Moyen-Orient d’un million d’habitants en 2010, le TAN (Taux d’accroissement
naturel) est de 1,3% et chaque année le solde migratoire est de 65 000 personnes.
Pour tout entier n, on note Pn la population, en millier en 2010 + n .
1) Justifier que P0 = 1000 .
2) Calculer P1 et P2 .
3) Justifier que pour tout entier n on a : Pn +1 = 1,013Pn + 65 .
4) On pose u n = Pn + 5000 pour tout entier n.
a) Calculer u 0 .
b) Montrer que (u n ) est géométrique et donner sa raison.
c) En déduire l’expression de u n puis de Pn en fonction de n.
5) Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous qui permet de déterminer en quelle année la
population de ce pays du Moyen-Orient aura doublée.
Initialisation
Traitement
Sortie
Affecter à u la valeur 1000 .
Affecter à n la valeur 0 .
……..……………. u < 2000 .
Affecter à u la valeur ………………..
Affecter à …………….. la valeur ……………….
Afficher la valeur 2010 + n .
6) Déterminer, à l’aide de la calculatrice, à partir de quelle année la population aura doublée.
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