1stmg2 NOM : ………………………………….. Mardi 22 avril 2014 Evaluation n°7. PRENOM : ………………………………………… Note : ……… Exercice 1. Une entreprise fabrique des pièces mécaniques. On note x le nombre de dizaines de pièces fabriquées au cours d’une journée. Le coût de production, en euros, de x dizaines de pièces est noté f (x). La partie de la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [4 ; 10] est donnée dans le repère de l’annexe à rendre avec la copie. Partie A : Lecture graphique On laissera apparents, sur le graphique les traits nécessaires à la lecture graphique. 1. À l’aide du graphique, déterminer le coût de production de 50 pièces. 2. Chaque pièce est vendue 0,3 €. On note R(x) la recette de l’entreprise lorsqu’elle produit x dizaines de pièces. Expliquer pourquoi R(x) = 3x. 3. Représenter graphiquement la fonction R dans le repère ci dessous. 4. Le bénéfice réalisé par l’entreprise, en fonction du nombre x de dizaines de pièces vendues, est la différence entre la recette et le coût de production. On note B(x ) ce bénéfice. À l’aide du graphique, déterminer à quel intervalle doit appartenir x pour que l’entreprise réalise un bénéfice positif. Partie B : Étude du bénéfice 2 On suppose que la fonction f est définie par : f (x) = x −8x +18 sur l’intervalle [4 ; 10]. 1. On rappelle que lorsque l’entreprise produit x dizaines de pièces, sa recette est R(x) = 3x. 2 Vérifier que le bénéfice de l’entreprise est alors B(x) = −x +11x −18. 2. a. B’ est la dérivée de la fonction B. Calculer B′(x) lorsque x appartient à l’intervalle [4 ; 10]. b. Déterminer, en fonction de x, le signe de −2x +11 sur l’intervalle [4 ; 10]. c. En déduire les variations de B sur l’intervalle [4 ; 10]. 3. Déterminer alors le nombre de pièces que l’entreprise doit produire pour réaliser un bénéfice maximum. Exercice 2. Une entreprise possède une chaîne de fabrication capable de fabriquer en une semaine entre 6 000 et 32 000 pièces identiques. Le coût de fabrication, en euros, de x milliers de pièces, pour x compris entre 6 et 32, est noté C(x) où C est la fonction définie sur 3 2 l’intervalle [6 ; 32] par C(x) = 2x −108x +5060x −4640. La représentation graphique de la fonction C est ci-dessous. Toutes les pièces produites sont vendues au prix de 3,5 € l’unité. Pour tout x appartenant à l’intervalle [6 ; 32], on note R(x) le montant de la vente en euros de x milliers de pièces. Le bénéfice B(x), en euros, pour la production et la vente de x milliers de pièces est B(x) = R(x)−C(x). 1. Montrer que, pour tout x appartenant à l’intervalle [6 ; 32] : R(x) = 3500x. 2. Représenter la fonction R sur le graphique ci dessous. 3. Par lecture graphique, et avec la précision permise par celui-ci, répondre aux questions suivantes. On laissera apparents tous les tracés utiles aux lectures graphiques. a. Quel nombre de pièces produites correspond à un coût de 30 000 € ? b. Quel nombre minimal de pièces fabriquées permet d’avoir un bénéfice positif ou nul ? 4. Montrer que, pour tout x appartenant à l’intervalle [6 ; 32] : 3 2 B(x) = −2x +108x −1560x +4640. 5. On désigne par B′ la fonction dérivée de la fonction B. a. Calculer B′(x). b. Étudier le signe de B’(x) sur l’intervalle [6 ; 32]. c. En déduire le tableau de variation de la fonction B sur l’intervalle [6 ; 32]. 6. Quel est le bénéfice maximal réalisable par l’entreprise ? Donner le nombre de pièces à produire réalisant ce maximum.