Mathématique - Exercices Sommaire

Mathématique - Exercices
Filière BTS 1
2014-2015
Centre de Formation aux Métier de la Montagne
Marine Estorge
Sommaire
1
Statistiques à une variable
Exercices- Filière BTS 1
1 Statistiques à une variable
Exercice n°1 :
Le 31 décembre dernier, le directeur d’un grand magasin d’informatique a enregistré le montant des ventes et le nombre d’articles
vendus, selon le tableau suivant, où n i désigne le nombre des articles vendus dont le prix exprimé en euros est situé dans
l’intervalle correspondant :
1. Donner une valeur approchée de l’étendue de cette série statistique.
Classes de prix
Effectif
[50 ;150[
80
[150 ;250[
160
[250 ;350[
720
4. Construire le polygone des Effectifs Cumulés Croissants.
[350 ;450[
1680
5. Graphiquement, déterminer la valeur approchée de la Médiane, du premier quartile et du troisième
[450 ;550[
2720
[550 ;650[
1760
[650 ;750[
640
[750 ;850[
160
• Que représente le premier quartile ?
[850 ;950[
80
• Que représente le troisième quartile ?
2. Quelle est la classe modale de cette série statistique ?
3. Construire l’histogramme de cette série statistique.
quartile.
• Que représente cette médiane ?
6. Construire le diagramme en boîte (boîte à moustache) de cette série.
Exercice n°2 :
On considère les notes suivantes, obtenues à l’épreuve de mathématiques de la dernière session d’un brevet de Technicien
Supérieur par les 35 candidats d’un centre d’examen :
1. Tracer le diagramme en bâtons de cette série statistique.
16,5
13,5
2,5
8,5
17,5
9
16
9,5
10,5
9,5
15
11,5
8,5
6
5,5
6,5
7,5
12
5
7
4. Donner une valeur approchée de l’étendue de cette série statistique.
12,5
7
9,5
5
16
5. Quel est le pourcentage de notes appartenant à l’intervalle [7,5 ;13,5] ?
7
16,5
11
11,5
18,5
13,5
15
11,5
15
9
2. Déterminer la médiane de cette série statistique.
3. Déterminer la valeur approchée à 10−1 près de la moyenne x de cette série.
6. Donner la valeur approchée à 10−1 près de l’écart type σ de cette série statistique.
·
2
3
2
3
¸
7. Déterminer le pourcentage de notes appartenant à l’intervalle x¯ − σ; x¯ + σ
Exercice n°3 :
Une doseuse industrielle de compote de pommes est réglée pour fournir une quantité moyenne de 500 g par boîte. Après nettoyage
de la machine, afin de vérifier que le réglage est toujours correct, on prélève un échantillon de 30 boîtes dans le production et
on les pèse. Les résultats sont les suivants.
Masse (en g)
Nombre de boîtes
[499,7 ;499 ;8[
3
1. La machine est considérée comme bien réglée si, sur un échantillon de 30 produits
[499,8 ;499,9[
13
fabriqués, on obtient une moyenne comprise entre 500,0 et 500,2 g et un écart type
[499,9 ;500,0[
7
n’excédant pas 0,13g. Commentez
[500,0 ;500,1[
3
2. Le technicien chargé de contrôler le réglage de la machine hésite sur la taille des
[500,1 ;500,2[
2
échantillons à utiliser : 5, 30 ou 500 individus. Que lui conseillez-vous ? Pourquoi ?
[500,2 ;500,3[
2
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Exercices- Filière BTS 1
Exercice n°4 :
Le tableau ci-dessous donne la répartition des salaires mensuels, en euros, des employés d’une entreprise :
Classes des salaires (en e)
[800 ;900[
[900 ;1000[
[1000 ;1050[
[1050 ;1150[
[1150 ;1300]
Effectifs
42
49
74
19
16
1. A quel type de série statistique correspondent ces données ?
2. Donner deux représentations graphiques pouvant être utilisées pour représenter cette série.
3. En justifiant chaque étape de votre démarche, représenter cette série sous la forme d’un histogramme.
4. En justifiant votre démarche, calculer le salaire moyen des employés de cette entreprise.
5. En justifiant chaque étape de votre démarche, tracer le polygone des Effectifs Cumulés Croissants, et déterminer la médiane
de cette série.
6. Que représente ce « salaire médian » ?
7. Lors du bilan financier de cette entreprise, on se rend compte que le salaire moyen est égal à 1200 e, et le directeur financier
met en évidence le fait qu’il manque dans la série une catégorie de salaires : ceux appartenant à la classe [1300 ;1500].
Combien y a-t-il d’employés dans cette classe ?
8. Peut-on dire alors que la moitié des employés gagne plus d’environ 1250 e ?
Exercice n°5 :
Avant de les commercialiser, un artisan fromager pèse chaque fromage de chèvre qu’il fabrique. Il obtient les résultats suivants :
Masse des fromages (en g)
[80 ;85[
[85 ;90[
[90 ;95[
[95 ;100[
[100 ;105[
[105 ;110[
[110 ;115[
Effectif
5
9
14
18
25
16
7
• Les fromages dont la masse est comprise dans l’intervalle [x¯ − σ(x); x¯ + σ(x)] sont vendus au prix courant.
• Les fromages dont la masse est hors de l’intervalle [x¯ − 3σ(x); x¯ + 3σ(x)] ne sont pas vendus.
• Les autres fromages sont vendus avec un rabais de 10 %.
Remarque
x¯ représente la masse moyenne d’un fromage.
σ(x) représente l’écart type de la série statistique.
Pour qu’une classe fasse partie des intervalles [x¯ − σ(x); x¯ + σ(x)] ou [x¯ − 3σ(x); x¯ + 3σ(x)] , il faut qu’elle soit en totalité incluse
dans cet intervalle.
Question :
En justifiant chaque étape de votre raisonnement, calculer le montant des ventes réalisées par cet artisan sachant que le prix
courant de vente d’un fromage est de 2,50 e.
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Exercices- Filière BTS 1
Exercice n°6 :
Un industriel a passé commande à un sous-traitant d’un lot de 40 pièces circulaires dont le diamètre doit mesurer 80 mm.
L’industriel demande à ce que les pièces soient mesurées à la sortie des chaînes d’usinage. Le résultat des mesures est récapitulé
dans le tableau ci-dessous :
Mesure du diamètre (en mm
79,75
79,8
79,85
79,9
79,95
80
80,05
80,1
80,15
80,2
Nombre de pièces
1
2
3
5
6
14
5
2
1
1
Dans le contrat de sous-traitance, il est stipulé que le lot de pièces sera accepté sous deux conditions :
• l’écart entre la moyenne x¯ et 80 mm est inférieur à 0,05 mm.
• Au minimum 95 % des pièces usinées sont comprises dans l’intervalle [x¯ − 2σ(x); x¯ + 2σ(x)] où σ(x) représente l’écart type
de la série.
1. En justifiant chaque étape de votre démarche, établissez si l’industriel accepte le lot de pièces fabriquées par le sous-traitant.
2. En justifiant chaque étape de votre démarche, calculer le coefficient d’asymétrie de cette série, puis représenter la série
par un diagramme en bâtons. Mettez en relation ces deux derniers points.
Exercice n°7 :
Un pépiniériste a fait l’inventaire des arbustes à vendre, suivant leur hauteur. Les résultats sont classés ainsi :
Hauteurs (cm)
Effectifs
40 à 50
28
50 à 600
34
60 à 800
90
80 à 1000
110
00 à 1400
84
40 à 1600
32
60 à 180
22
1. Dresser le tableau faisant apparaître les effectifs, les fréquences, les effectifs
cumulés croissants et les effectifs cumulés décroissants.
2. Tracer les polygones des effectifs cumulés croissants et décroissants.
3. Calculer la moyenne et l’écart-type.
Exercice n°8 :
Une boutique de confection a relevé le montant mensuel de ses ventes :
Montant des
Effectifs (nombre
ventes (en francs)
des ventes)
[0 ; 300[
127
[300 ; 600[
82
1. le montant moyen des ventes ;
[600 ; 900[
90
2. l’écart-type ;
[900 ; 1200[
48
[1200 ; 1500[
33
[1500 ; 1800[
20
Total
400
Déterminer :
3. Tracer le polygone des effectifs cumulés croissants ainsi que celui ces effectifs
cumulés décroissants.
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Exercices- Filière BTS 1
Exercice n°9 :
On a recensé le nombre d’enfants vivant dans chacun des foyers d’une petite ville.
Nombre d’enfants
Effectif (foyers)
0
1
2
3
4
5
6
7
290
170
155
95
43
27
20
10
1. Calculer le nombre moyen d’enfants m par foyer.
2. Calculer l’écart type du tableau.
3. Calculer le pourcentage de foyers dont le nombre d’enfants appartiennent à l’intervalle [m − σ; m + σ].
Exercice n°10 : Calcul de la moyenne
1. Calcul de la moyenne pour un caractère quantitatif discret.
Exemple (1)
Prix ( F ) ( x i )
Un élève a obtenu les notes suivantes en mathématiques : 12 ; 14 ; 9 ; 13 ; 5 ; 10 ;
Nombre de
magasins ( n i )
15 ; 14. Quelle est sa note moyenne ?
28
5
Exemple (2)
29
12
30
19
31
21
32
17
Exemple (3)
33
10
Une enquête sur le prix d’un article est réalisée auprès de plusieurs magasins. On
34
9
35
7
Un élève a obtenu les notes suivantes : 15 : coefficient 1 ; 6 : coefficient 2 ; 13 :
coefficient 3. Quelle est sa note moyenne ?
a obtenu les résultats suivants (cf. tableau) Quel est le prix moyen ?
2. Calcul de la moyenne pour un caractère quantitatif continu.
Exemple
On veut faire des statistiques sur les prix payés en euros par les clients d’un self-service d’entreprise en 2002.
Prix payés
Nombre de
Centre de
classes (x i )
(en e)
clients
Classes
Effectifs (n i )
[ 18 , 20 [
4
[ 20 , 22 [
6
[ 22 , 24 [
8
[ 24 , 26 [
11
[ 26 , 28 [
9
[ 28 , 30 [
6
[ 30 , 32 [
6
Produit n i x i
Calculer la moyenne des prix payés .
On suppose pour cela que 4 clients ont payé 19 e, 6
clients ont payé 21 e, 8 clients ont payé 23 e, 11 clients
ont payé 25 e, 9 clients ont payé 27 e, 6 clients ont
payé 29 eet 6 clients ont payé 31e.
Exercice n°11 : Calcul de l’écart-type
Voici les notes de quatre élèves :
Leur professeur mettra-t-il la même appréciation, pour ces quatre élèves ?
• élève A ; 10 ; 12 ; 14 ; 16 ; 8
Pour les distinguer, on calcule un paramètre appelé écart type σ
• élève B ; 12 ;12 ; 12 ; 12 ; 12
Calcul
s :
• élève C ; 12 ; 13 ; 12 ; 11 ; 12
σA =
• élève D ; 7 ; 17 ; 10 ; 13 ; 13
(10 − 12)2 + (12 − 12)2 + (14 − 12)2 + (16 − 12)2 + (8 − 12)2
=
5
r
4 + 0 + 4 + 16 + 16
=
5
r
40
≈ 2, 83
5
Calculer de même σB , σC et σD . Présenter ces calculs sous forme de tableaux :
Notes (x i )
Effectifs (n i )
Produit (n i x i )
ni xi š
Calculer la moyenne de ces quatre élèves .
Que constatez-vous ?
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