Agrégation interne - Exercices de probabilités Exercice 1 La durée de vie d’un atome d’un élément radioactif est une v.a. D de loi exponentielle de paramètre λ > 0. Au temps t = 0, il existe N atomes. 1. Calculer la probabilité pk (t) pour que, dans l’intervalle de temps [0, t], k atomes exactement se désintègrent (on suppose que les comportements des différents atomes sont indépendants). 2. Soit p la probabilité d’observer la désintégration d’un atome, et soit Xt la v.a. représentant le nombre de désintégrations observées dans l’intervalle de temps [0, t]. Déterminer la loi de Xt et son espérance. Exercice 2 Soit M la v.a. représentant le nombre d’étudiants déjeunant dans un restaurant universitaire donné. On suppose que M suit une loi de Poisson de paramètre λ. Soit p la probabilité pour qu’un étudiant prenne une petite cuillère. Le nombre de petites cuillères nécessaires est une v.a. notée N . Calculer la loi de N . Exercice 3 On considère n personnes qui se répartissent dans trois wagons numérotés 1, 2 et 3, indépendamment les unes des autres, et avec équiprobabilité 1/3, 1/3, 1/3. On note Ni la v.a. égale au nombre de personnes ayant choisi le wagon numéro i. 1. Déterminer la loi de Ni . 2. Déterminer la loi de N1 + N2 . 3. Soient B1 et B2 deux v.a. indépendantes, de loi binomiale de paramètres respectifs (n1 , p) et (n2 , p). 3.a. En utilisant un raisonnement de combinatoire, montrer que l’on a pour k ≤ n1 + n2 : Cnk1 +n2 = k ! Cnm1 Cnk−m , 2 m=0 avec la convention Cji = 0 si i > j. 3.b. Déterminer la loi de B1 + B2 . 4. Les v.a. N1 et N2 sont-elles indépendantes ? Exercice 4 Soit (Xk )k≥1 une suite de v.a.i.i.d. qui suivent toutes la loi de Bernoulli de paramètre p ∈]0, 1[. 1. Calculer P(X1 #= X2 ) et P(X1 = X2 #= X3 ). 2. Soit L la v.a. définie comme le plus grand entier tel que X1 = X2 = · · · = XL . Déterminer la loi de L. 3. Soit M la v.a. définie comme le plus grand entier tel que XL+1 = · · · = XL+M . Déterminer la loi de M . 4. Vérifier par le calcul que E[M ] est une constante indépendante de p. 1 Exercice 5 On dispose d’une pièce dont les deux faces sont désignées par P et F. On jette cette pièce autant de fois qu’il est nécessaire pour obtenir le résultat P deux fois consécutivement. On désigne par N la variable aléatoire qui prend la valeur n (n ≥ 2) si ces deux résultats sont obtenus (pour la première fois) aux jets de rangs n − 1 et n. On note pn = P(N = n). 1. Calculer pn pour n = 2, 3, 4. 2. Soit n ≥ 4. Exprimer pn en fonction de pn−1 et pn−2 . 3. Calculer pn en fonction de n. Exercice 6 On note U une v.a. de loi uniforme sur [0, 1]. 1. Soient x0 , x1 , . . . , xn des nombres réels " quelconques, soient p0 , p1 , . . . , pn ∈ [0.1] tels que " n i−1 p = 1, et soient enfin q = 0 et q = 0 i i=0 i j=0 pj pour 1 ≤ i ≤ n + 1. Déterminer la loi de la v.a. : n ! Z= xi 1]qi ,qi+1 ] (U ). i=0 # 2. Soit λ > 0. Déterminer la loi de la v.a. : Yλ = − λ1 ln 1 − U ). 3. On dispose d’une fonction random d’un micro qui tire "au hasard" un nombre dans l’intervalle [0, 1]. Ecrire une procédure qui fournit en sortie une réalisation d’une v.a. de loi binomiale. Même question pour une loi exponentielle. Exercice 7 On suppose dans cet exercice que X et Y sont deux v.a. réelles indépendantes admettant des densités notées respectivement fX et fY . On note S = X + Y . 1. Démontrer que S admet pour densité la fonction fS = fX ∗ fY (produit de convolution) : $ s ∈ R, fS (s) = fX (t) fY (s − t) dt. R 2. Calculer la loi de S lorsque X et Y suivent toutes les deux la loi normale N (0, 1). 3. On rappelle que, pour a, λ > 0 donnés, la loi gamma γ(a, λ) est définie par la densité : f (x) = Γ(a)−1 λa e−λx xa−1 1[0,+∞[ (x). Montrer que, si X ∼ γ(a, λ) et Y ∼ γ(b, λ), alors S suit aussi une loi gamma dont on précisera les paramètres. Exercice 8 Soient X1 , . . . , Xn des v.a.r. indépendantes suivant toutes la loi normal N (0, 1), et soit Y = X12 + · · · + Xn2 . Montrer que Y ∼ γ( n2 , 12 ). Exercice 9 (Simulation de la loi normale) Soient U1 et U2 deux v.a.r. indépendantes suivant toutes les deux la loi uniforme sur [0, 1]. 1. Calculer la loi de V = −2 ln U1 . √ 2. Calculer la loi de R = V . 3. Calculer la loi de Θ = 2πU2 . 4. Calculer la loi du couple de v.a.r. (X, Y ) défini par : X := R cos θ, Y := R sin θ. 5. Conclusion. 2