レポート No.7 (12/19 → 1/16) - So-net

No.7
数学Ⅲレポート
1.
(2016)
（複素積分の実定積分への応用：その 2）
（定理 4.21） S 



f ( x) cos mx dx , T  

-
f ( x) sin mxdx
(1)
において J  S  iT とおく．これらの積分はつぎの条件が成立するとき(2)式で与えられる．
(1) m  0 である．
(2) 0     で一様に f ( R e )  0 ( R  )
i
である．
(3) f (x ) は実軸上に極を持たない．
J  S  iT  


f ( x) cos mx dx  i 


f ( x) sin mx dx  


f ( x)e imx dx   f ( z )e imz dz
C
(2)
ただし，積分路 C は下図のように選ぶものとする．
□
y
C
 c 
c

2
1

c
CR
R
N
R
Fig.1
C1
R
x
積分路 C
（例）
S
cos  x
dx
 x 2  1

を求めよ．
（解）
1
i
2
,(1) m    0 ,(2) f ( R e )  0 ( R  ) ,(3) x  1  0 ,
x 1
x  i より，実軸に極はない． Im( z )  0 の極は z  c1  i である．よって
f ( x) 
2
J  S  iT  
 sin x

cos x
e ix
e iz
e iz
dx

i
dx

dx

dz

2

i
Re
s
(
)dz
   x 2  1   x 2  1 C z 2  1
 x 2  1
z  c1 z 2  1

e iz  ( z  c1 )e iz i
e iz
e ic1
ei 
 2i lim{( z  c1 ) 2 }  2i lim
 2i 
 2i 
 e 
z  c1
z  c1
2z
2c1
2i
z 1
2
よって S  Re( J )  e

（問題）例を参考にしてつぎの積分を求めよ．
(1) S 

cos x
dx
 x  2 x  2
(4) S 


cos x
x sin x
dx (5) T  
dx
2
4
  x  10 x  9
 x  5 x 2  4

2

4
(2) S 


x cos x
x sin x
dx (3) T  
dx
2
 x  4 x  5
 x  4 x  5

2

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