基底の取り換えと行列表示

基底の取り換えと行列表示
梅崎直也
平成 28 年 9 月 27 日
以下は解答例です。
1. (1, x, x2 , . . . , xn )P = (1, x − a, (x − a)2 , . . . , (x − a)n ) = (1, x − a, x2 −
∑n
2ax + a2 , . . . , j=0 n Cj xn−j (−a)j ) なる行列 P を求める。


1 −a (−a)2 · · ·
(−a)n


0 1
−2a · · · n C1 (−a)n−1 


0 0
1
· · · n C2 (−a)n−2 




..


.


0 0
0
···
1
2. x − a = y とおくと x = y + a なので、(1) と同様にやれば


1 a a2 · · ·
an


0 1 2a · · · n C1 an−1 


0 0 1 · · ·
n−2 
n C2 a




..


.


0 0 0 ···
1
3. Ta (xi ) = (x − a)i =

1

0

0




0
∑i
j=0 i Cj x
i−j
−a
(−a)2
1
0
−2a
1
0
0
4. D(xi ) = ixi−1 となるので

0

0





0
0
(−a)j となることから

···
(−a)n

· · · n C1 (−a)n−1 

· · · n C2 (−a)n−2 


..

.

···
1
1 0
···
0 2
0 0
···
..
.
···
0
···
0
1
0


0 





n − 1
0
5. fα (1) = a + bi, fα (i) = −b + ai なので
(
)
a −b
b
a
6. ι(1) = 1 + 0i, ι(i) = 0 + (−1)i なので
(
)
1 0
0
−1
7. この 5 つが一次独立であることを示せばよい。a + b sin x + c cos x +
π
3π
d sin 2x + e cos 2x = 0 とする。x = 0, , π,
を代入すると
2
2



a+c+e=0




a + b − e = 0


a−c+e=0




a − b − e = 0
となり、これを解くと a = b = c = e = 0 となる。したがって d sin 2x = 0
となり、これから d = 0 も出るので、一次独立性が証明できた。
2

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