Vorlesung Algebraische Kurven – ¨Ubungsblatt 1 Aufgabe 3

Vorlesung Algebraische Kurven – Übungsblatt 1
Hagen Knaf, SS 2016
Aufgabe 3: Skizzieren Sie die Menge C ∩ R2 der reellen algebraischen
Kurve C mit der Gleichung
(X 2 (1 − X 2 ) − Y 2 )(Y 2 (1 − Y 2 ) − X 2 ) = 0.
Betrachten Sie dieselbe Gleichung über dem Körper F4 mit vier Elementen
und bestimmen Sie die Menge C ∩ F2 .
Lösung: Das Polynom F (X, Y ) := (X 2 (1 − X 2 ) − Y 2 )(Y 2 (1 − Y 2 ) − X 2 )
kann über einem beliebigen Körper K betrachtet werden, da seine Koeffizienten alle gleich 1 (neutrales Element von (K, ·)) oder −1 (additiv Inverses
von 1) sind.
Nach den üblichen Rechenregeln in Ringen gelten die Gleichungen
F (−X, Y ) = F (X, −Y ) = F (−X, −Y ) = F (X, Y ) = F (Y, X),
die Lösungsmenge ist also achsensymmetrisch zur X- und Y -Achse und zur
1. Winkelhalbierenden, sowie punktsymmetrisch zum Punkt (0, 0) ∈ K 2 .
Der Graph der Funktion f (t) := t2 (1−t2 ) ist einfach zu zeichnen. Hieraus
lässt sich dann durch Wurzelziehen, wobei man die Zweideutigkeit der Quadratwurzel beachtet, leicht das folgende Bild für C ∩ R2 ermitteln (Der verwendete Funktionsplotter von Matlab kommt im zentralen Bereich der Kurve
an seine Grenzen.):
Um den zweiten Teil der Aufgabe zu lösen benutzt man Folgendes: F4 =
{0, 1, α, β}, wobei die vier Elemente genau die Nullstellen des Polynoms
X 4 − X ∈ F2 sind – siehe Vorlesung Satz 16. Es gilt
X 4 − X = X(X + 1)(X 2 + X + 1) = X(X + 1)(X + α)(X + β);
man beachte: in F4 gilt stets a = −a.
Es folgt: α2 = α + 1 = β und β 2 = β + 1 = α, sowie 1 − α2 = α und
1 − β 2 = β.
Durch Einsetzen verifiziert man:
C ∩ F24 = {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (α, 1), (1, α), (β, 1), (1, β)},
wobei man die Symmetrieeigenschaft F (X, Y ) = F (Y, X) nutzen kann.
Studiengang Angewandte Mathematik
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Hochschule RheinMain

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