Blatt 5 - Userpage

Übungen zur Vorlesung Elementargeometrie“
”
SS 2016
A. Rincón, A. Schmitt
Übungsblatt 5
Abgabe: Bis Dienstag, den 31.05.2016, 14Uhr
Aufgabe 1 (Angeordnete Körper; 5+5 Punkte).
Es sei (K, <) ein angeordneter Körper.
a) Beweisen Sie, dass 0 < 1 gilt.
b) Zeigen Sie, dass durch
i: Z −→ 
K
0, falls k = 0




1
+
·
·
·
+

| {z 1}, falls k > 0
k 7−→
k-mal


−(1
+
·
· · + 1}), falls k < 0

| {z


(−k)-mal
eine injektive Abbildung gegeben ist. Insbesondere hat K unendlich viele Elemente.
Zusatzaufgabe 1 (Ein nicht-archimedisch angeordneter Körper; 3+4+8 Punkte).
Es sei R[t] der Polynomring über den reellen Zahlen (s. [3], Abschnitt V.2, [1], Lemma
A.1.3).
a) Es seien p, q ∈ R[t] Polynome. Wir definieren
p≤q
:⇐⇒
∃λ0 ∈ R∀λ ≥ λ0 :
p(λ ) ≤ q(λ ).
Zeigen Sie, dass ≤“ eine Anordnung ist, d.h., dass folgende Eigenschaften erfüllt
”
sind:
• ∀p, q, r ∈ R[t] :
(p ≤ q) ∧ (q ≤ r)
• ∀p, q ∈ R[t] :
(p ≤ q) ∧ (q ≤ p)
• ∀p, q ∈ R[t] :
(p ≤ q) ∨ (q ≤ p).
=⇒
=⇒
p ≤ r,
p = q,
b) Wir setzen R := R[t]. Auf R × (R \ {0}) definieren wir:
(p, q) ∼ (r, s)
:⇐⇒
p · s = q · r.
Überprüfen Sie, dass ∼“ eine Äquivalenzrelation ist.
”
Es sei K die Menge der Äquivalenzklassen. Zeigen Sie, dass K zusammen mit den
Verknüpfungen
ein Körper ist und
+: K × K
[p, q], [r, s]
·: K × K
[p, q], [r, s]
−→
7−→
−→
7−→
K
[ps + qr, qs] ,
K
[pr, qs]
ι : R[t] −→ K
p 7−→ [p, 1]
eine injektive Abbildung, die mit Addition und Multiplikation verträglich ist.1
c) Beweisen Sie, dass es genau eine Anordnung ≤“ auf K gibt, bzgl. der K ein an”
geordneter Körper ist und die die Anordnung aus a) vermöge der Abbildung ι aus b)
fortsetzt. Erklären Sie, warum (K, ≤) das archimedische Axiom (vgl. [2], Folgerung
1.7.13) verletzt.
Aufgabe 2 (Distanzfunktionen auf R2 ; 5+5 Punkte).
Es sei G die Menge der Geraden in R2 wie in der Vorlesung definiert. Es werden
folgende Abbildungen erklärt:
d1 : R2 × R2 −→ R
(x1 , y1 ), (x2 , y2 ) 7−→ max |x1 − x2 |, |y1 − y2 | ,
d2 : R2 × R2 −→ R
(x1 , y1 ), (x2 , y2 ) 7−→ |x1 − x2 | + |y1 − y2 |.
Weisen Sie nach, dass es sich bei d1 und d2 um Distanzfunktionen auf (R2 , G) handelt,
die das Axiom von der Längenmessung erfüllen.
Aufgabe 3 (Die Ebene mit fehlendem Streifen I; 4+6 Punkte).
Es sei
E := (x, y) ∈ R2 | x < 0 ∨ x ≥ 1 .
Eine Teilmenge g ⊂ E heißt Gerade, wenn g 6= ∅ und es eine Gerade l ⊂ R2 gibt, so
dass
g = l ∩ E.
Man setze
1 Die
G := g ⊂ E | E ist Gerade .
Konstruktion ist völlig parallel zu der Konstruktion von Q aus Z (s. [2], Abschnitt 1.5).
a) Überprüfen Sie, dass (E, G) eine Inzidenzgeometrie ist.
b) Es sei
e: R2 × R2 −→ R
q
(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2
(x1 , y1 ), (x2 , y2 ) 7−→
die euklidische Distanzfunktion auf R2 .
Man definiere
d: E × E −→ 
R
e
(x
,
y
),
(x
,
y
)
,

1
1
2
2



∨ (x1 ≥ 1 ∧ x2 ≥ 1)

 falls (x1 < 0 ∧ x2 < 0)s
(x1 , y1 ), (x2 , y2 ) 7−→
y1 − y2 2 .

,
e (x1 , y1 ), (x2, y2 ) − 1 +


x1 − x2



sonst
Zeigen Sie, dass d eine Distanzfunktion auf (E, G) ist, für die das Axiom von der
Längenmessung erfüllt ist.
Aufgabe 4 (Die Ebene mit fehlendem Streifen II; 5+5 Punkte).
Die Situation sei wie in Aufgabe 3.
a) Gilt für d die Dreiecksungleichung, d.h.,
∀A, B,C ∈ E :
d(A,C) ≤ d(A, B) + d(B,C)?
b) Ist für (E, G, d) das Axiom von der Zerlegung in Halbebenen erfüllt?
Wie immer sind Ihre Antworten ausführlich zu begründen.
Literatur
[1] Algebra und Zahlentheorie, http://userpage.fu-berlin.de/~ aschmitt/SkriptAlgZT.pdf.
[2] Analysis I, http://userpage.fu-berlin.de/~ aschmitt/skript.pdf.
[3] Lineare Algebra I, http://userpage.fu-berlin.de/~ aschmitt/SkriptLAI.pdf.

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