Wintersemester 2015/2016
Mathematik für Physiker III
Übungen – Blatt 6∗
Aufgabe 1. Sei Ea,b = {(x, y) ∈ R2 | x2 /a2 + y 2 /b2 ≤ 1} eine Ellipsenfläche in der Ebene.
Bestimmen Sie die Volumina der beiden Rotationskörper, die durch das Rotieren von Ea,b
um die x-Achse bzw. um die y-Achse entstehen.
(4 P.)
Aufgabe 2. Seien R, h > 0 und f : [0, h] −→ R die Funktion, die durch die Vorschrift
f (z) = R − Rz/h gegeben ist. Sei
R = {(x, y, z) | 0 ≤ z ≤ h, x2 + y 2 ≤ f (z)2 }
der dazugehörige Rotationskörper.
i) Skizzieren Sie R.
ii) Bestimmen Sie das Volumen von R.
iii) Bestimmen Sie den geometrischen Schwerpunkt von R.
(4 P.)
Aufgabe 3. Sei f (x, y, z) =
Integral
p
x2 + y 2 . Bestimmen Sie mit Hilfe von Zylinderkoordinaten das
Z
f (x, y, z)dV3
M
über der Menge M = {(x, y, z) ∈ R3 | z ≤ 1, 0 ≤ x2 + y 2 ≤ z}.
(4 P.)
3
Aufgabe 4. Seien a, b, c > 0 und F : R>0 × ]0, 2π[ × ] −
π/2, π/2[ −→ R gegeben durch
F (r, ϕ, θ) = ar cos(θ) cos(ϕ), br cos(θ) sin(ϕ), cr sin(θ) .
i) Zeigen Sie, dass F injektiv ist.
ii) Bestimmen Sie die Jacobi-Determinante det JF (r, ϕ, θ).
iii) Nutzen Sie die Transformationsformel aus, um das Volumen von
M = {(x, y, z) | x2 /a2 + y 2 /b2 + z 2 /c2 ≤ 1} zu berechnen.
(4 P.)
∗
Abgabe der Lösungen am 18.12.2015 vor der Vorlesung.
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