4. Übungsblatt

Institut für Analysis und Algebra
Technische Universität Braunschweig
SoSe 2016
Prof. Dr. Volker Bach, Alexander Hach
Lineare Algebra 2
4. Übungsblatt
Ausgabe am 28.04., Abgabe bis zum Mittwoch den 04.05., 17:00 Uhr im Raum F522
(Forumsgebäude 5. OG), Besprechung in den kleinen Übungen vom 09.05.-11.05.
Aufgabe 4.1 (4 Punkte)
Sei F ein Körper und A ∈ GL(n, C) ⊂ Mn×n (F) invertierbar. Zeigen Sie: Dann gibt es ein
Polynom f (X) = a0 + a1 X + ... + am X m ∈ F[X] vom Grad m ≤ n so, dass A−1 = f (A) =
a0 1 + a1 A + ... + am Am .


3 4 3
Bestimmen Sie f und damit A−1 für A = −1 0 −1.
1 2 3
Aufgabe 4.2 (4 Punkte)
Sei P3 := {p ∈ R[x] | grad(p) ≤ 3} und ϕ : P3 → P3 gegeben durch ϕ(p)(x) = p00 (x) + 2p(x).
Bestimmen Sie das Minimalpolynom von ϕ. Ist ϕ diagonalisierbar?
Aufgabe 4.3 (4 Punkte)
Für n ∈ N sei die Menge
Rn :=
a
q ∈ Q ∃a, b ∈ Z : q = , n - b
b
definiert und mit den üblichen Verknpfungen Addition und Multiplikation Q×Q → Q versehen.
(i) Zeigen Sie: Rn ist genau dann ein kommutativer Ring mit 1, falls n prim ist.
(ii) Für welche Primzahlen p ist Rp ein Körper?

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