Blatt 10

Prof. Dr. Felix Leinen
12. Januar 2017
Geometrie, Algebra und Zahlentheorie“ im WS 16-17
”
ÜBlatt 10
Abgabe der Hausaufgaben bis Freitag, 20. Januar 2017, 13:00 Uhr.
Es werden maximal 30 Punkte gewertet.
1. (a) Zeigen Sie: Genau dann ist I ein Ideal in Z, wenn es ein n ∈ N gibt mit
I = n Z = {nz | z ∈ Z} .
(b) Bestimmen Sie alle Ideale in K[x] wobei K ein Körper sei .
(c) Für eine Primzahl p seien K = GF(pm ) und L = GF(pn ) zwei endliche Körper.
Zeigen Sie:
K≤L
⇐⇒
mn.
2. (a) Konstruieren Sie den Körper GF(9) und geben Sie seine Multiplikationstafel an.
(b) Bestimmen Sie alle primitiven Elemente in GF(9) .
3. Es sei K = GF(5) . In K[x] betrachten wir die beiden Polynome
und g = x4 + 2 x3 − x + 1 .
[4 P]
[1 P]
[3 P]
[5 P]
[2 P]
f = x4 − x3 − 2 x2 − 2 x − 2
(a) Bestimmen Sie den größten gemeinsamen Teiler d von f und g in K[x]
sowie Bezout-Koeffizienten u, v ∈ K[x] mit d = u f + v g .
[4 P]
(b) Zerlegen Sie f und g in ihre irreduziblen Faktoren in K[x] .
[2 P]
(c) Nun bezeichne h das kleinste gemeinsame Vielfache von f und g .
Bestimmen Sie die Anzahl der Nullteiler in K[x] h K[x] .
[4 P]
4. Es sei K = GF(5) und f = x5 − x3 − x2 − 2 x + 2 ∈ K[x] .
(a) Wieviele Elemente enthält K[x] f K[x] ? (Begründung!)
(b) Weisen Sie nach, daß x2 − 2 ein gemeinsamer Teiler der Polynome f und x25 − x
in K[x] ist.
(c) Entscheiden Sie, ob K[x] f K[x] ein Körper ist oder nicht.
(d) Bestimmen Sie den kleinsten Körper L ≥ K derart, daß f in L[x] in Linearfaktoren
zerfällt.
[0.5 P]
[2 P]
[0.5 P]
[5 P]

Download Report