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Übungen zur Vorlesung Elementargeometrie“
”
SS 2016
A. Rincón, A. Schmitt
Übungsblatt 2
Abgabe: Bis Dienstag, den 10.05.2016, 14Uhr
Aufgabe 1 (Geraden in einer Inzidenzgeometrie; 8 Punkte).
Es sei (E, G) eine Inzidenzgeometrie. Beweisen Sie, dass es drei verschiedene Geraden
g1 , g2 , g3 ∈ G gibt, die keinen gemeinsamen Punkt enthalten, d.h., g1 ∩ g2 ∩ g3 = ∅.
Aufgabe 2 (Affine Ebenen über einem Körper; 10+10+5 Punkte).
Es sei K ein Körper ([1], Definitionen II.3.1, ii)). Eine Teilmenge g ⊂ K × K heißt
Gerade, wenn es Vektoren u ∈ K × K und w ∈ (K × K) \ {(0, 0)} gibt, so dass
n
o
g = gu,v := u + λ · v ∈ K × K λ ∈ K .
a) Man setze E := K × K und
n
o n
o
G := g ⊂ E g ist Gerade = gu,v u ∈ E, v ∈ E \ (0, 0) .
Beweisen Sie, dass (E, G) eine Inzidenzgeometrie ist.
b) Untersuchen Sie, welches der Parallelenaxiome in (E, G) gilt.
c) Fertigen Sie eine Skizze von (E, G) für den Körper K := F3 an.
Aufgabe 3 (Endliche Inzidenzgeometrien mit euklidischem Parallelenaxiom;
7 Punkte).
Beweisen Sie, dass es zu jeder Primzahl p eine Inzidenzgeometrie (E, G) gibt, so dass
• #E = p2 ,
• das euklidische Parallelenaxiom erfüllt ist.
Literatur
[1] A. Schmitt, Lineare Algebra I, Vorlesungsskript, http://userpage.fuberlin.de/∼aschmitt/SkriptLAI.pdf.

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