Elliptische Kurven (26192) Universität Basel im HS 2015 Blatt 7 Prof

Elliptische Kurven (26192)
Blatt 7
Universität Basel im HS 2015
Prof. Dr. P. Habegger
Aufgabe 1 (1 + 3 + 4 Punkte). Sei K ein Körper und C ⊆ P2K eine K-irreduzible
projektive ebene algebraische Kurve.
P
P
(i) Der Grad eines Divisors D ∈ Div(C) mit D = P ∈C nP [P ] ist deg D = P ∈C nP .
Zeigen Sie, dass deg : Div(C) → Z ein Gruppenhomomorphismus ist.
(ii) Sei C = P1K (realisiert z.B. als Z(Z)). Zeigen Sie, dass deg div(f ) = 0 für alle
f ∈ K(C) r {0} gilt.
(iii) Zeigen Sie, dass Pic(P1K ) = Div(P1K )/div(K(P1K ) r {0}) zu Z isomorph ist, falls
K algebraisch abgeschlossen ist.
Aufgabe 2 (2 + 2 Punkte).
(i) Zeigen Sie, dass die Weierstrassgleichung y 2 = x3 +
1 eine elliptische Körper E über F5 definiert.
(ii) Zeigen Sie, dass E(F5 ) eine zyklische Gruppe der Ordnung 6 ist.
Aufgabe 3 (4 Punkte). Sei E die elliptische Kurve über F5 , die durch y 2 = x3 +
3x + 2 definiert ist. (Sie müssen nicht überprüfen, dass diese Gleichung tatsächlich eine
elliptische Kurve definiert). Berechnen Sie 5P = P ⊕ P ⊕ P ⊕ P ⊕ P für P = (2, 4) ∈
E(F5 ).
Aufgabe 4 (4 + 2 + 0 + 0 Punkte). Sei E eine elliptische Kurve über einem Körper
K der Charakteristik 6∈ {2, 3}.
(i) Zeigen Sie, dass E genau 3 Punkte der Ordnung 2 besitzt. Hinweis: Ohne Einschränkung ist E wegen Aufgabe 5, Blatt 6 durch eine kurze Weierstrassgleichung
gegeben.
(ii) Finden Sie d1 , d2 , . . . , ds ∈ N mit d1 | d2 | · · · | ds , so dass
{P ∈ E : P ⊕ P = 0}
zu Z/d1 Z × Z/d2 Z × · · · × Z/ds Z isomorph ist.
(iii)* Zeigen Sie, dass (i) auch stimmt, falls K Charakteristik 3 hat. Lösen Sie (ii) in
Charakteristik 3.
(iv)* Finden Sie eine elliptische Kurve über einem Körper der Charakteristik 2 ohne
Punkte der Ordnung 2.
* = freiwillige Aufgabe.
Abgabe am 11. November 2015 um 12.15 Uhr.

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