Lösungsblatt 7

LMU MÜNCHEN
Mathematik für Studierende der Biologie – Wintersemester 2016/17
GRUNDLAGENTUTORIUM 7 - Lösungen
Sebastian Groß
Sprechzeiten:
Raum:
Tel.:
Vom 05.12. bis 09.12. bin ich täglich von 13:00 bis 16:00 erreichbar.
D01.021
(089) 2180 – 74825
Anmerkung: Es handelt sich hierbei um keine Musterlösung (außer bei Aufgabe 3e und 3f), sondern nur
um die Endergebnisse welche als Selbstkontrolle dienen sollen.
Aufgabe 1 (Partielle Integration)
a) −𝑒 −𝑥 (𝑥 + 1) + 𝐶 ; 𝐶 ∈ ℝ
b) 1
1
c) − cos²(𝑥) + 𝐶 ; 𝐶 ∈ ℝ
2
Aufgabe 2 (Integration durch Substitution)
a)
1
2
ln(2𝑒 − 1)
b) 𝑒 4 − 1
c)
2
35
√𝑥 + 1 ∙ (5𝑥 3 + 8𝑥 2 + 𝑥 − 2) + 𝐶 ; 𝐶 ∈ ℝ
Aufgabe 3 (Wiederholungsaufgaben)
a) 21
b) 𝑅𝑒(𝑒 𝑧 ) = 𝑒 𝑥 cos(𝑦) und 𝐼𝑚(𝑒 𝑧 ) = 𝑒 𝑥 sin(𝑦)
1 𝑡
c) 𝑥𝑡 = 13 ( ) − 8 ; 𝑡 = 0, 1, 2, 3, …
2
d)
1
2
e) −100 ist eine untere Schranke, denn 𝑛 ≥ −100 ist wahr, da 𝑛 ≥ 0.
+100 kann keine obere Schranke sein, denn lim 𝑛 = ∞ und damit ist die Folge nicht nach oben
𝑛→∞
beschränkt. (Insbesondere ist die Folge 𝑎𝑛 = 𝑛 nicht beschränkt!)
f)
Wenn 𝑓(𝑥) punktsymmetrisch zu 𝑃(0/−1) ist, dann muss 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 1 punktsymmetrisch
zum Ursprung sein.
Da 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 1 = 𝑥 3 − 1 + 1 = 𝑥 3
und −𝑔(−𝑥) = −(−𝑥)3 = −(−𝑥 3 ) = 𝑥 3 gilt, ist 𝑓 in der Tat punktsymmetrisch zu 𝑃.
3
9
2
4
g) 𝑡: 𝑦 = 𝑥 −
h)
i)
q.e.d.
;𝑥 ∈ ℝ
63
16
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 2𝑥 ; 𝑥 ∈ ℝ löst das Problem. Wegen 𝑓 ′′′ (𝑥) = 6 ≠ 0, ist die hinreichende
Bedingung für einen Wendepunkt bei 𝑥 = 1 erfüllt.
1

Download Report