Übungsbeispiele Michael Schlosser Algebra für LAK Sommersemester 2016 1. Sei (G, ·, e) eine Gruppe und g, g1 , . . . , gn ∈ G. Zeigen Sie (a) (g −1 )−1 = g. (b) (g1 · · · gn )−1 = gn−1 · · · g1−1 . (c) g m g n = g m+n für m, n ∈ Z. (d) (g m )n = g mn für m, n ∈ N. 2. Sei (G, ·, 1) eine (multiplikative) Gruppe. Beweisen Sie, (a) dass G genau dann abelsch ist, wenn a2 b2 = (ab)2 für alle a, b ∈ G gilt. (b) dass falls alle Elemente selbstinvers sind (also g 2 = 1 erfüllen), G abelsch ist. Gilt auch die Umkehrung? 3. (a) Zeigen Sie, dass die Menge a 0 H := : a, b ∈ Q ⊂ Mat2×2 (Q) b 0 mit der Matrixmultiplikation eine nicht-kommutative Halbgruppe bildet. (b) Ist H ein Monoid? Warum, warum nicht? Gibt es in H linksneutrale oder rechtsneutrale Elemente? (c) Besitzt H linksinverse bzw. rechtsinverse Elemente? Wenn ja, bestimmen Sie diese. Wenn nein, warum nicht? 4. Zeigen Sie, dass eine Halbgruppe H genau dann eine Gruppe ist, wenn (i) H ein linksneutrales Element e besitzt und (ii) jedes a ∈ H bzgl. e ein linksinverses Element a0 besitzt (d.h., es gilt a0 a = e). [Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass für a ∈ H jedes Linksinverse a0 auch Rechtsinverses ist, weiters dann, dass e auch rechtsneutral ist.] 5. Sei G das offene Intervall (−c, c) in R. Zeigen Sie, dass (G, ◦, 0) eine Gruppe bildet, wobei v+w , v◦w = 1 + vw c2 für alle v, w ∈ G. [Die Operation ◦ beschreibt die Addition der Geschwindigkeiten in der speziellen Relativitätstheorie.] 6. Zeigen Sie, dass jede Gruppe G mit weniger als sechs Elementen abelsch sein muss. [Hinweis: Nehmen Sie indirekt an, es gäbe eine nicht abelsche Gruppe G mit weniger als sechs Elementen. Es gibt also a, b ∈ G mit ab 6= ba. G enthält also die verschiedenen Elemente e, a, b, ab, ba. Leiten Sie einen Widerspruch her.] 2 7. Bestimmen und beschreiben Sie eine nicht-abelsche Gruppe mit sechs Elementen. 8. Sei M = {a2 + b2 | a, b ∈ Z} die Menge der Summen zweier Quadratzahlen. Zeigen Sie, dass M bezüglich der Multiplikation abgeschlossen ist. Z.B. ist (12 + 22 )(32 + 42 ) = 22 + 112 = 52 + 102 , (12 + 42 )(22 + 72 ) = 12 + 302 = 152 + 262 . 9. Sei N = {a2 + b2 + c2 | a, b, c ∈ Z} die Menge der Summen dreier Quadratzahlen. Zeigen Sie, dass N bezüglich der Multiplikation nicht abgeschlossen ist. [Tipp: Zeigen Sie, dass 15 6∈ N , aber . . .] (Übrigens ist dagegen die Menge der Summen von vier Quadratzahlen gleich N0 [ein nichttriviales, berühmtes Ergebnis, das auf Lagrange zurückgeht, der sogenannte VierQuadrate-Satz (umformuliert): Jede natürliche Zahl läßt sich als Summe von vier Quadraten darstellen] und damit klarerweise bzgl. der Multiplikation abgeschlossen.) 10. Sei (R, +, ·, 0) ein Ring. Zeigen Sie, dass aus den Ringaxiomen die folgenden Gesetze folgen: (a) 0a = a0 = 0 für alle a ∈ R, (b) (−a)b = a(−b) = −(ab) für alle a, b ∈ R, (c) (−a)(−b) = ab für alle a, b ∈ R, (d) a(b − c) = ab − ac und (a − b)c = ac − bc für alle a, b, c ∈ R, P P P (e) ( ni=1 ai )( m j=1 bj ) = (i,j)∈I ai bj mit I = {1, . . . , n} × {1, . . . , m} für alle ai , bj ∈ R. 11. Ein assoziativer Ring (R, +, ·, 0) heißt Boolescher Ring, falls x = x2 für alle x ∈ R gilt. Zeigen Sie, dass ein solcher Ring die Gesetze xy = yx und x + x = 0 für alle x, y ∈ R erfüllt. √ √ 12. Zeigen Sie, dass Q( 5) := {a +√b 5 | a, b ∈ Q} ein Körper (mit den üblichen Rechenoperationen) ist. Ist auch Q( −5) ein Körper? √ 13. Zeigen oder widerlegen Sie, dass K = {a + b 3 2 | a, b ∈ Q} ein Körper ist. 14. Zeigen Sie, dass der Durchschnitt beliebig vieler Körper (mit denselben Verknüpfungen, Null- und und Einselement) wieder ein Körper ist. (Zu jeder Teilmenge M ⊆ R gibt es daher einen kleinsten Körper, der M enthält.) 15. Zeigen Sie, dass die Vereinigung K1 ∪ K2 zweier Körper (mit denselben Verknüpfungen, Null- und und Einselement) genau dann ein Körper ist, wenn K1 ⊆ K2 oder K2 ⊆ K1 gilt. 16. Bestimmen Sie alle reellen (2 × 2)-Matrizen X, die X 2 = I2 erfüllen. (Was ist jeweils det X? Welche Fälle sind “trivial”, welche “interessant”?)