Prof. Dr. Marcel Griesemer Roman Bauer, Dr. Jochen Schmid FB Mathematik, Universität Stuttgart Datum: 27.05.2016 Analysis 2 (SS 2016) — Vortragsübung 7 7.1. [Parsevallsche Gleichung] i) Seien f, g 2π-periodische Regelfunktionen, N ∈ N und seien N X sN (f )(x) = cn (f )einx , sN (g)(x) = n=−N N X cn (g)einx . n=−N Zeigen Sie, dass gilt 1 2π Z 2π sN (f )(x)sN (g)(x) dx = 0 N X cn (f )cn (g). n=−N ii) Sei nun f stückweise stetig differenzierbar. Zeigen Sie, dass dann gilt Z 2π ∞ X 1 f (x)g(x) dx = cn (f )cn (g). 2π 0 n=−∞ iii) Mit den Voraussetzungen aus ii) folgern Sie Z 2π ∞ X 1 |f (x)|2 dx = |cn (f )|2 . 2π 0 n=−∞ 7.2. (1) i) Beweisen Sie die Gleichung ∞ X π2 1 = , n2 6 (2) n=1 indem Sie die Fourierreihe der Funktion f (x) = x2 berechnen. ii) Zeigen Sie die Gültigkeit von (2) unter der Annahme, dass (1) auch für die 2π-periodische Fortsetzung der Funktion f : [0, 2π) → C, f (x) = π−x , 2 gültig ist. 7.3. Sei c : [0, 2π) → C, c(t) = x(x) + iy(t) eine injektive, zweimal stetig differenzierbare Abbildung und limt→2π c(t) = c(0). Der Graph von c ist eine geschlossene Kurve in C, wobei die Gesamtlänge der Kurve 2π betragen soll. Der Flälcheninhalt A(c) der beschränkten Fläche, den diese Kurve einschließt, berechnet sich zu Z 1 2π A(c) = (x(t)ẏ(t) − ẋ(t)y(t)) dt. 2 0 Zeigen Sie: A(c) wird genau dann maximal, wenn c einen Kreis mit Radius 1 beschreibt.
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