Algebra I Aufgabe 29. Es sei K ein Körper. Beweisen oder

Prof. Dr. Franz Kalhoff
Marco Sobiech, M. Sc.
WS 2015/2016
Abgabe: 14.01.2016 12:00 Uhr
Algebra I
Übungsblatt 10
Aufgabe 29.
Es sei K ein Körper. Beweisen oder widerlegen Sie:
a) Das Ideal (X 2 + 2) ⊂ K[X] ist ein Primideal.
b) Der Kern eines jeden Ringhomomorphismus ϕ : K[X] → K[T ] ist ein Primideal.
c) Das Ideal (X − 2,Y + 1) ist maximal in K[X,Y ] := (K[X])[Y ].
Aufgabe 30.
√
Gegeben sei der Ring Z[ d] mit d ∈ N, d > 1 und d quadratfrei, d.h. in√der Primfaktorzerlegung von√d treten
alle Faktoren nur einfach auf. Weiter sei N(α) = a2 − db2 für α = a + b d die Normfunktion auf Z[ d]. Wir
betrachten im Folgenden die Gleichung
X 2 − dY 2 = ±1.
√
√
a) Zeigen Sie, dass jede Lösung (x0 , y0 ) der Gleichung eine√Einheit x0 + y0 d von Z[ d] bestimmt, und
umgekehrt die Koeffizienten eines jeden Elements aus Z[ d]× die Gleichung lösen.
√
b) Angenommen, es gibt eine Lösung (x0 , y0 ) ∈ Z2 mit x0 + y0 d 6= ±1, dann gibt es unendlich viele
verschiedene Lösungen. Beweisen Sie dies.
c) Bestimmen Sie möglichst viele Lösungen der Gleichung X 2 − 7Y 2 = ±1.
Aufgabe 31.
Es sei K ein Körper und Cn die multiplikativ geschriebene zyklische Gruppe der Ordnung n. Zeigen Sie, dass
der Gruppenring K[Cn ] isomorph zum Faktorring K[X]/(X n − 1) ist.

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