Ubungen zur Vorlesung Differentialgleichungen

Universität Kassel
Fachbereich 10
Dr. habil. Sebastian Petersen
Blatt 01
16.10.2015
Übungen zur Vorlesung Differentialgleichungen
Wintersemester 2015/16
Aufgabe 1. Wir betrachten die Differentialgleichung
x
(D)
y0 = −
y
auf G = R×]0, ∞[.
a) Skizzieren Sie das Richtungsfeld dieser Differentialgleichung.
b) Erraten Sie für jedes c > 0 eine Lösung ϕc von (D) mit ϕc (0) = c. (Sowohl die Abbildungsvorschrift als auch das maximal mögliche Definitionsintervall der Funktion ϕc soll erraten
werden.)
c) Beweisen Sie durch Einsetzen in (D), dass die von Ihnen gefundenen Funktionen ϕc tatsächlich
Lösungen von (D) ist.
Aufgabe 2. Beweisen Sie mit möglichst elementaren Methoden, dass die Differentialgleichung
y0 = y
(D)
auf G = R×]0, ∞[ außer den in der Vorlesung erratenen Lösungen
ϕc : R →]0, ∞[, x 7→ cex
(c > 0) keine weiteren Lösungen hat. (Hinweis: Sei ψ irgendeine Lösung von (D). Was ist die
Ableitung von ϕψ1 ?)
Elementare Lösungsstrategien: Eine Differentialgleichung der Form y 0 = f (x)g(y) heißt Differentialgleichung mit getrennten Variablen. Ist y0 ∈ R mit g(y0 ) = 0, so ist durch y(x) ≡ y0
eine Lösung gegeben. Sind f, g stetige Funktionen, so erhält man weitere Lösungen durch folgende
Strategie:
Z
Z
dy
dy
= f (x)g(y) ⇒
= f (x)dx
(1)
dx
g(y)
1
Ist also G(y) eine Stammfunktion von g(y)
und F (x) eine Stammfunktion von f (x), so erhält man
implizit gegebene Lösungen durch die Gleichung
G(y(x)) = F (x) + C.
(2)
Die Lösung des Anfangswertproblems
y 0 = f (x)g(y),
erhält man durch den Ansatz
Z y
Z x
dη
=
f (ξ)dξ,
y0 g(η)
x0
y(x0 ) = y0
x ∈ (x0 − ε− , x0 + ε+ ), ε± > 0.
(3)
(4)
Bitte wenden
Aufgabe 3. Zur mathematischen Präzisierung überlegen Sie sich:
a) Wann kann man eine Gleichung vom Typ (2) nach y auflösen? (Stichwort: Satz über implizite
Funktionen oder Existenz einer Umkehrfunktion von G.)
b) Was muss man in dem Anfangswertproblem (3) voraussetzen, damit man (4) anwenden
kann?
c) Machen Sie sich klar, dass durch (4) eine Lösung des Anfangswertproblems (3) gegeben wird.
d) Man löse das Anfangswertproblem (“logistisches Wachstum mit Ernteraten”)
5
y 0 = y(1 − y) − ,
4
y(0) =
1
.
2
(Hinweis: Dies ist eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen.)
Besprechung: 23.10.2015

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