2. ¨Ubungsklausur zur Vorlesung `Gewöhnliche

MATHEMATISCHES INSTITUT
DER UNIVERSITÄT ZU KÖLN
apl. Prof. Dr. D. Horstmann
Dipl.-Wi.-Math. A. Barglowski
Wintersemester 2015/2016
28. Januar 2016
**2. Übungsklausur**
zur Vorlesung
’Gewöhnliche Differentialgleichungen’
Keine Abgabe der Übung!
Aufgabe 1.
(8 Punkte) - Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung -
Für x 6= 0 sei die Anfangswertaufgabe
y0 =
y
+ x2 exp(x),
x
y(1) = 1
gegeben.
(i) Bestimmen Sie eine maximale Lösung dieser Anfangswertaufgabe.
(ii) Ist diese maximale Lösung eindeutig bestimmt?
Aufgabe 2.
(13 Punkte) - elementar lösbare Differentialgleichungen -
Lösen Sie die folgenden Anfangswertaufgaben
2
(i) xy0 =
y + 1 y, für x 6= 0, y(1) = 1
x
(ii) y0 + y = xy3 , für x ≥ 0,
y(0) = 1
Hinweis: Dividieren Sie die DGL durch y3 (warum darf man das?) und mulitplizieren Sie anschließend geschickt mit einer bestimmten Konstanten, so dass Sie die Substitution z(x) := y(x)−2 anwenden können.
Hinweis zur Aufagbe 2: Eine Probe ihrer Ergebnisse und Zwischenergebnisse ist, außer zur freiwilligen
Kontrolle, nicht erforderlich.
Aufgabe 3.
(8 Punkte) - Richtungsfeld einer Differentialgleichung -
Gegeben sei die Differentialgleichung
x
y0 (x) = − ,
y
y 6= 0
(i) Skizzieren Sie mithilfe von Isoklinen das Richtungsfeld der gegebenen Differentialgleichung und
tragen Sie einige Lösungen ein.
(ii) Erraten Sie anhand der Skizze diejenige Lösung, die die Anfangsbedingung y(0) = 1 erfüllt. Prüfen
Sie das Ergebnis durch eine Probe.
Aufgabe 4.
(11 Punkte) - Inhomogene Differentialgleichung höherer Ordnung -
Betrachten Sie die Gleichung
y(4) (t) − 2y000 (t) − y00 (t) + 2y0 (t) + 10y(t) = et .
(1)
(i) Zeigen Sie, dass y1 (t) = e(i+2)t und y2 (t) = e(i−1)t komplexe Lösungen des homogenen Problems sind.
(ii) Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung des homogenen Problems.
(iii) Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung des inhomogenen Problems (1).
Aufgabe 5.
(12 Punkte) - Beweisaufgabe -
Es sei f : R → R Lipschitz-stetig, und u : R → R eine Lösung von
u00 = f (u).
(2)
Angenommen, es existieren zwei Punkte x1 < x2 mit u0 (x1 ) = u0 (x2 ) = 0. Zeigen Sie, dass dann u periodisch
mit Periode P := 2(x2 − x1 ) ist, also dass
u(x) = u(x + P) für alle x ∈ R.
Hinweis: Betrachten Sie die Hilfsfunktionen v1 (y) := u(x1 + y), w1 (y) := u(x1 − y) und zeigen Sie zunächst,
dass v1 ≡ w1 gilt. Zeigen Sie dazu, dass v1 , w1 beide eine eindeutig lösbare Anfangswertaufgabe lösen.
Aufgabe 6.
(8 Punkte) - Definitionen und Sätze -
(i) Geben Sie die Definition einer allgemeinen Sturmschen Randwertaufgabe an.
(ii) Geben Sie an, unter welcher/n Bedingung/en eine allgemeinen Sturmschen Randwertaufgabe eindeutig lösbar ist.
Aufgabe 7.
(18 Punkte) - Stabilitätsaussagen -
Gegeben sei das Differentialgleichungssystem
y0 = −y3 + 2y2 z − yz2
z0 = −2y3 − z3 + y2 z + 2z4 .
(i) Berechnen Sie die Gleichgewichtspunkte des Systems.
(ii) Untersuchen Sie das Stabilitätsverhalten (Stabilität/asymptotische Stabilität) des trivialen Gleichgewichtspunktes unter Verwendung einer Lyapunovfuntkion.
(iii) Untersuchen Sie - falls möglich - das Stabilitätsverhalten (Stabilität/asymptotische Stabilität/Instabilität) aller weiteren nicht-trivialen Gleichgewichtspuntke, indem Sie das System linearisieren.
Aufgabe 8.
(22 Punkte) - Randwertaufgaben -
Lösen Sie die Randwertaufgabe
y00 − y = 2x,
y(0) = 0,
y(1) = 1
mithilfe der Greenschen Funktion.
Hinweis: Beachten Sie dabei, dass es sich um eine vollständig inhomogene lineare Randwertaufgabe handelt.
Bemerkungen:
• Diese Übungsklausur ist im Umfang einer 9-CP-Klausur.
• Alle Aufgaben bis einschließlich Aufgabe 5 sind auch für eine Klausur im Rahmen von 6-CP relevant.
• Im Laufe der Zeit wird ein Lösungsvorschlag zu dieser 2. Übungsklausur auf der Homepage zu den
Übungen veröffentlicht.
• Diese 2. Übungsklausur wird teilweise (neben Teilen der 1. Übungsklausur) in der letzten Vorlesung
am 11.02.2016 im Rahmen einer Sonderübung besprochen.
• Je nach dem, wie viel Zeit in der Globalübung am 09.02.2016 (10:00-11:30 Uhr im HS des MI anstatt der Vorlesung) nach der Besprechung der 14.Übung bleibt, wird bereits dort mit der teilweisen
Besprechung der Übungsklausuren begonnen.
Weitere Informationen und Aktuelles zur Veranstaltung finden Sie unter
http://www.mi.uni-koeln.de:8916/.

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