Übungsblatt 8

Übungen zur
Einführung in die mathematische Modellierung
SoSe 2016 – Blatt 8
Dr. Alexander Lohse
Susanne Beckers
Aufgabe 22: Cobweb-Modell (5+2 Punkte)
Betrachten Sie das Cobweb-Modell aus der Vorlesung (Folien 126-128) mit der modifizierten Preisvorhersage
sn = b(pn−1 + ρ(pn−1 − pn−2 )) + s0 .
a) Leiten Sie die zugehörige inhomogene Differenzengleichung zweiter Ordnung in Normalform her und berechnen Sie deren allgemeine Lösung.
Hinweis: Benutzen Sie ohne Beweis, dass für die Green-Matrix G(n, k) des zugehörigen zweidimensionalen Systems Ex = Ax + b der letzte Eintrag in der ersten
Zeile geschrieben werden kann als
det
λk1 λk2
λn1 λn2
det
λk2
λk1
k+1
λ1
λk+1
2
−1
,
wobei λ1 , λ2 die Eigenwerte der Koeffizientenmatrix A sind.
b) Bestimmen Sie alle Fixpunkte des Systems. Untersuchen Sie außerdem das asymptotische Verhalten der Lösungen für den Spezialfall a = 3, b = 1 und ρ = 1: Ist das
System stabil bzw. asymptotisch stabil?
Aufgabe 23: Leslie-Modell (1+6 Punkte)
Betrachten Sie analog zum Leslie-Modell aus der Vorlesung (Folien 129-131) eine Population, die sich in vier Altersklassen mit den folgenden Eigenschaften einteilen lässt:
• Individuen der Altersklassen 1 und 4 bekommen keine Kinder.
• Individuen der Altersklassen 2 bzw. 3 bekommen im Schnitt 3 bzw. 2 Kinder.
• Aus den Alterklassen 1 und 2 überleben alle Individuen, d.h. sie wechseln zum
nächsten Zeitschritt in die nächsthöhere Altersklasse.
• Aus Altersklasse 3 stirbt im Mittel die Hälfte der Individuen, in Altersklasse 4
sterben alle.
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a) Stellen Sie ein dynamisches System auf, das die Entwicklung der Bevölkerungsstruktur
beschreibt.
b) Charakterisieren Sie anhand Ihres Modells die langfristige Bevölkerungsentwicklung:
Stirbt die Population aus? Wächst sie unbeschränkt? Nähert sich die Verteilung der
Individuen auf die Altersklassen einer konstanten Verteilung an?
Aufgabe 24: Stabilität (6 Punkte)
Beweisen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen für das lineare homogene diskrete dynamische System x(t + 1) = A(t)x(t) mit x(t) ∈ IRn und A(t) ∈ IRn×n .
1) Das System ist stabil.
2) Alle Lösungen des Systems sind beschränkt, d.h. ist x eine Lösung, so ist die Menge
{x(t) | t ∈ IN0 } ⊂ IRn beschränkt.
Hinweis: Denken Sie daran, dass sich jede Lösung des Systems schreiben lässt als X(t)x(0)
mit der Hauptfundamentalmatrix X(t).
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