Algebra für Informatik (2016S)

Algebra für Informatik (2016S)
5. Übungsblatt, mit Lösungen
für den 25. April 2016
1. Zeigen Sie, dass für a, b, c, d ∈ R mit ad 6= bc die Matrix
a
c
b
inverd
tierbar ist, und dass
a
c
−1
1
d −b
b
=
d
(ad − bc) −c a
gilt.
2. Nehmen wir an, dass die n × n-Matrizen A, B und A + B invertierbar
sind. Beweisen Sie, dass
(A−1 + B −1 )−1 = B(A + B)−1 A.
3. Gegeben seien zwei n×n-Matrizen A und B, sodass En −B ·A invertierbar
ist. Beweisen Sie, dass En − A · B auch invertierbar ist und geben Sie eine
Formel für (En − AB)−1 , ausgedrückt durch A, B, (En − BA)−1 und En ,
1
an. Hinweis: Denken Sie beim Auffinden der inversen Matrix an 1−x
=
P∞ i
x
.
i=0
4. Finden Sie invertierbare Matrizen von möglichst kleinem Format, sodass
(A · B)−1 6= A−1 · B −1 .
5. Mischt man die Sorte Exklusiv“ zu 7,- EUR je kg mit der Sorte Pre”
”
mium“ zu 3,- EUR je kg, so kostet die Mischung insgesamt 320,- EUR.
Vertauscht man dagegen die Mengen der beiden Sorten, so kostet die Gesamtmischung 40,- EUR mehr. Wieviel kg nimmt man von jeder Sorte?
6. Lösen Sie
1
(a)
0
1
(b)
0
1
(c)
0
1
(d)
0
die Gleichungssysteme
π
0
· ~x =
1
0
π
−1
· ~x =
1
−2
5 1 −2
−1
· ~x =
1 3 5
−2
5 1 −2
0
· ~x =
1 3 5
0
1

1
(e) 0
0
5
1
0
1
3
1

 
−2
−1
5  · ~x = −2
8
4
7. Bestimmen Sie alle Lösungen des folgenden Gleichungssystems:
x1 − 3x2 − 2x3 − x4 − x5 = 6
x2 + 2x3 − x4 − x5 = 3
−x4 + x5 = 0
8. Zeigen Sie, dass für a, b, c, d ∈ R das Gleichungssystem ax + by = 0,
cx + dy = 0 genau dann eine Lösung (x, y) mit (x, y) 6= (0, 0) hat, wenn
ad − bc = 0. Gibt es in diesem Fall eine Eindeutige Lösung?
2

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