Übungsblatt 10

Übungen zur
Einführung in die mathematische Modellierung
SoSe 2016 – Blatt 10
Dr. Alexander Lohse
Susanne Beckers
Aufgabe 28: Lorenz-System (6 Punkte)
Zeigen Sie, dass das Lorenz-System (Folie 138) für r, b, σ > 0 dissipativ ist, d.h. zeigen Sie,
dass eine Menge E ⊂ IR3 existiert, sodass für alle Lösungskurven φ(t) = (X(t), Y (t), Z(t))
gilt
∃t0 ∈ IR : φ(t) ∈ E für alle t ≥ t0 .
Betrachten Sie dazu die Funktion V (X, Y, Z) = rX 2 + σY 2 + σ(Z − 2r)2 und berechnen
d
V (φ(t)), also die Ableitung von V nach t entlang der Lösungskurve φ(t). Wählen
Sie dt
Sie ein geeignetes Ellipsoid als E.
Aufgabe 29: Boxdimension (2+2+3 Punkte)
a) Berechnen Sie die Boxdimension des Sierpinski-Teppichs. Dieser wird analog zur
Cantormenge als Teilmenge des IR2 iterativ konstruiert: Wir starten mit einem Quadrat der Seitenlänge 1, welches wir in neun kleinere Quadrate zerlegen, indem wir
seine Seiten dritteln. Von diesen Quadraten wird das mittlere entfernt. Im nächsten
Iterationsschritt verfahren wir mit den verbleibenden Quadraten jeweils analog. Der
Sierpinski-Teppich ist die Menge aller Punkte, die in keinem Iterationsschritt entfernt werden.
b) Finden Sie eine Teilmenge von IR, deren Boxdimension
ln 4
ln 7
ist.
c) Konstruieren Sie eine Menge, für die der Grenzwert in der Definition der Boxdimension nicht existiert.
Hinweis: Bei a) und b) dürfen Sie ebenso “ungenau” sein wie in der Vorlesung, d.h. es
reicht, wenn Sie den Grenzwert lim nur für eine geeignete Folge {εk }k∈IN betrachten.
ε→0
Aufgabe 30: Logistische Gleichung (3+2+2 Punkte)
Wir betrachten ein kontinuierliches Populationsmodell, gegeben durch die kontinuierliche
logistische Gleichung
ẋ = rx(1 − x),
für x = x(t) ∈ IR+ und t ≥ 0, r ∈ IR.
1
a) Zeigen Sie, dass
x(t) =
x(0)ert
1 + x(0)(ert − 1)
für alle x(0) ∈ IR+ und t ≥ 0 eine Lösung der Gleichung ist. Gibt es dabei Einschränkungen an den Parameter r ∈ IR? Welche sinnvollen Einschränkungen an r
ergeben sich aus der Modellbildung, also dem Ziel, das Wachstum einer Population
zu beschreiben?
b) Was können Sie direkt aus der Gleichung bzw. der Lösung aus a) über die Stabilität
des stationären Punktes x = 0 sagen? Gibt es weitere stationäre Punkte?
c) Vergleichen Sie kurz die langfristige Dynamik für die Population x(t) mit der aus
dem diskreten logistischen Modell, siehe z.B. Aufgabe 26.
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