Merkzettel „Folgen und Reihen“ II

Merkzettel „Folgen und Reihen“ II
30.4.2016
Folgen reeller Zahlen:
Konvergenz gegen a :∀𝜀 > 0: (∃ N(𝜀) : ∀ 𝑛 ≥ N(𝜀) : |𝑎𝑛 − 𝑎| < 𝜀 )
𝑛!
1 𝑛
𝑛
lim (1 + ) = 𝑒 (𝑘 ) =
𝑘! (𝑛 − 𝑘)!
𝑛
Cauchy-Folge: ∀𝜀 > 0: (∃ N(𝜀) : ∀ 𝑚, 𝑛 ≥ N(𝜀) : |𝑎𝑚 − 𝑎𝑛 | < 𝜀 ) Jede Cauchy-Folge ist beschränkt 𝑛→∞
Jede reelle Folge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchyfolge ist, da ∀𝜀 > 0: (∃ N(𝜀) : |𝑎𝑛 − 𝑎𝑚 | ≤ |𝑎𝑛 − 𝑎| + |𝑎𝑚 − 𝑎| < 2𝜀 )
Divergenz: ∃𝜀 > 0: (∀𝑁: ∃ 𝑛 ≥ 𝑁: |𝑎𝑛 − 𝑎| ≥ 𝜀 )
Bestimmte Konvergenz gegen ∞: ∀𝐾 ∈ ℝ+ : ∃𝑁 = N(𝐾) : ∀ 𝑛 ≥ N(𝐾) : 𝑛 ≥ 𝑁
Bolzano-Weierstrass: Jede beschränkte unendliche Teilmenge von ℝ besitzt mindestens einen Häufungspunkt.
Häufungspunkt:
Ein Punkt ist ein Häufungspunkt, wenn in jeder beliebig kleinen ε-Umgebung unendlich viele Punkte liegen.
Wichtige Summenformeln:
Geometrische Summe q≠1
𝑛
∑ 𝑞𝑘 =
𝑘=0
Arithmetische Summe Quadratische Summe
𝑛
𝑛+1
1−𝑞
1−𝑞
1
bei q=1
∑ 𝑘 = 𝑛(𝑛 + 1)
∑=(n+1)
2
𝑘=1
Binomischer Lehrsatz
𝑛
𝑛
𝑛
𝑘=1
𝑘=0
𝑘=0
1
𝑛
𝑛
∑ 𝑘² = 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) (𝑥 + 𝑦)𝑛 = ∑ ( ) 𝑥 𝑛−𝑘 𝑦 𝑘 = ∑ ( ) 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛−𝑘
𝑘
𝑘
6
Wichtige konvergente Reihen:
Diverse konvergente nicht-alternierende Reihen
∞
∑
𝑛=1
∞
∞
∞
∞
∞
𝑛=1
𝑛=1
∞
𝑘=1
𝑛=0
∞
∞
𝑥𝑛
𝑥 2𝑛+1
𝑥 2𝑛
1
1
1
1
𝜋2
∑
= 𝑒𝑥 ∑
= sinh 𝑥 ∑
= cosh 𝑥
; 𝑚≥2 ∑ 𝑛 ; 𝑚>1 ∑
∑ 2=
(2𝑛 + 1)!
(2𝑛)!
𝑛!
𝑛𝑚
𝑚
𝑛(𝑛 + 1)
𝑘
6
1
∑ 𝑞𝑘 =
1−𝑞
𝑘=0
(0 < |𝑞| < 1)
„geom. Reihe“
𝑛=0
𝑛=0
∞
(2𝑛 − 1)‼ 𝑥 2𝑛+1
𝑥 2𝑛+1
∑
= arcsin 𝑥 ∑
= artanh 𝑥
(2𝑛)!! 2𝑛 + 1
2𝑛 + 1
𝑛=1
𝑛=0
∞
𝑐
∑ ( ) 𝑥 𝑛 = (1 + 𝑥)𝑐
𝑛
𝑛=0
Diverse konvergente alternierende Reihen
∞
∑(−1)𝑛
𝑛=0
∞
𝑥 2𝑛+1
= sin 𝑥
(2𝑛 + 1)!
∑(−1)𝑛
𝑛=0
∞
∞
∞
𝑛=1
𝑛=0
𝑛=0
𝑥 2𝑛
𝑥𝑛
𝑥 2𝑛+1
1
= cos 𝑥 ∑(−1)𝑛−1
= ln(1 + 𝑥) ∑(−1)𝑛
= arctan(𝑥) ∑(−1)𝑛 = ln 2
(2𝑛)!
𝑛
2𝑛 + 1
𝑛
Konvergenzbedingungen:
Nicht-alternierende Reihen ∑an (Notwendige Konvergenzbedingung: lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0) :
Konvergente Majorante ∑mn Konvergenz, wenn fast alle Glieder 0 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑚𝑛
Divergenz, wenn fast alle Glieder 𝑎𝑛 ≥ 𝑚𝑛
Divergente Minorante ∑mn
Quotientenkriterium: 𝑟 = lim𝑘→∞ |
Integral-Kriterium:
𝑎𝑘+1
𝑎𝑘
∞
∑
𝑛=1
1
("ℎ𝑎𝑟𝑚𝑜𝑛𝑖𝑠𝑐ℎ𝑒 𝑅𝑒𝑖ℎ𝑒", 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑀𝑖𝑛𝑜𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒)
𝑛
𝑘
| Wurzelkriterium: 𝑟 = lim √|𝑎𝑘 | r<1 … abs. Konv.; r>1 … Divergenz abs. Konverg.: ∑∣ak∣ = konv
𝑘→∞
∞
Sei f(𝑥) auf [m,∞] positiv und monoton fallend. Dann: (∫𝑚 f(𝑥) 𝑑𝑥 𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡) ⟺ (∑∞
𝑘=𝑚 f(𝑘) 𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡)
Alternierende Reihen ∑an : Leibnitz-Kriterium: ∑an konvergent, wenn (lim𝑛→∞|𝑎𝑛 | = 0) ˄ (|𝑎𝑛 | 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑡𝑜𝑛)
Diverses:
Potenzreihe
Cauchy’sche Produktreihe
∞
1
∞
1
∞
∞
𝑘
p(𝑧) = ∑ 𝑎𝑛 𝑧 𝑛 Konvergent wenn |𝑧| < 𝑅 mit 𝑅 = lim𝑛→∞ 𝑛√|𝑎𝑛 | bzw. 𝑅 = lim𝑛→∞|𝑎𝑛+1| ∑ 𝑎𝑘 = 𝑎; ∑ 𝑏𝑘 = 𝑏 → ∑ ∑ 𝑎𝑘−𝑙 𝑏𝑙 = 𝑎𝑏
𝑎𝑛
𝑛=0
Funktionenreihe
𝑘=0
𝑘=0
𝑘=0 𝑙=0
Punkteweise konv.: ∀𝑥 ∈ 𝐼: ∃ lim𝑛→∞ {f𝑛 (𝑥)} Gleichm. konv.: lim𝑛→∞ sup𝑥∈𝐼 |f𝑛 (𝑥) − f(𝑥)| = 0; f(𝑥) = lim𝑛→∞ f𝑛 (𝑥)
Taylor-Entwickung und Taylor-Reihen von skalaren Funktionen mit einer Variablen:
∞
Entwicklung
an x0:
f(𝑥) = ∑
Entwicklung
an x0=0:
f(𝑥) = ∑
f (𝑛) (𝑥0 )
f ′ (𝑥0 )
f ′′ (𝑥0 )
f (𝑛) (𝑥0 )
(𝑥 − 𝑥0 )𝑛 = f(𝑥0 ) +
(𝑥 − 𝑥0 ) +
(𝑥 − 𝑥0 )2 + ⋯ +
(𝑥 − 𝑥0 )𝑛 + R 𝑛+1 (𝑥)
𝑛!
1!
2!
𝑛!
𝑛=0
∞ (𝑛)
(0)
𝑛=0
f
𝑛!
𝑥 𝑛 = f(0) +
f ′ (0)
f ′′ (0) 2
f (𝑛)(0) 𝑛
𝑥+
𝑥 + ⋯+
𝑥 + R 𝑛+1 (𝑥)
1!
2!
𝑛!
𝑥
Restglied nichtf (𝑛+1)(𝑥0 + 𝜗ℎ) 𝑛+1
1
R 𝑛+1 (𝑥) =
ℎ
= ∫ f (𝑛+1)(𝑡) (𝑥 − 𝑡)𝑛 𝑑𝑡 = 𝒪(|ℎ|𝑛+1 ) ; ℎ = 𝑥 − 𝑥0 ; 𝜗 ∈ (0,1)
alternierende
(𝑛 + 1)!
𝑛!
Reihe:
𝑥0
Restglied alternierende Reihe: |𝑅𝑛+1 (𝑥)| ≤ 𝑎𝑛+1
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𝑎𝑛
Konvergenzradius: 𝑟 = lim𝑛→∞ |𝑎
-1-
𝑛+1
|
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Taylor-Entwicklung und Taylor-Reihen von skalaren Funktionen mit mehreren Variablen:
2
𝜕2 𝑓
Entwicklung bis
zum quadr. Term
an der Stelle 𝑟⃗0 :
1
f(𝑟⃗) = f(𝑟⃗0 ) + ⃗∇⃗f(𝑟⃗0 ) ∙ (𝑟⃗ − 𝑟⃗0 ) + (𝑟⃗ − 𝑟⃗0 )𝑇 Hf(𝑟⃗0 ) (𝑟⃗ − 𝑟⃗0 )
2
𝜕 𝑓
Hesse𝜕𝑥 2
𝑇
Matrix von H(f(𝑥, 𝑦)) = ∇ ∇f = ( 𝜕2 𝑓
f(𝑥, 𝑦):
𝜕𝑦𝜕𝑥
Entwicklung bis
zum quadr. Term
⃗⃗:
an der Stelle 0
1
⃗⃗) + ⃗∇⃗f(0
⃗⃗) ∙ 𝑟⃗ + 𝑟⃗ 𝑇 Hf(0
⃗⃗) 𝑟⃗
f(𝑟⃗) = f(0
2
𝑓𝑥𝑥
HesseMatrix von H(f(𝑥, 𝑦, 𝑧)) = ∇𝑇 ∇f = (𝑓𝑦𝑥
f(𝑥, 𝑦, 𝑧):
𝑓𝑥𝑧
f(𝑥, 𝑦) = f(𝑥0 , 𝑦0 ) +
𝜕 f(𝑥0 ,𝑦0 )
𝜕𝑥
(𝑥 − 𝑥0 ) +
𝜕 f(𝑥0 ,𝑦0 )
𝜕𝑦
1 𝜕2 f(𝑥0 ,𝑦0 )
(𝑦 − 𝑦0 ) + (
2
𝜕𝑥 2
(𝑥 − 𝑥0 )2 + 2
𝜕2 f(𝑥0 ,𝑦0 )
𝜕𝑥𝜕𝑦
(𝑥 − 𝑥0 )(𝑦 − 𝑦0 ) +
𝜕2 f(𝑥0 ,𝑦0 )
𝜕𝑦 2
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕2 𝑓
)
𝜕𝑦 2
𝑓𝑥𝑦
𝑓𝑦𝑦
𝑓𝑦𝑧
𝑓𝑥𝑧
𝑓𝑦𝑧 )
𝑓𝑧𝑧
(𝑦 − 𝑦0 )2 )
Implizit gegebene Funktion an einer Stelle mit Taylor-Polynom auflösen:
𝑰𝒎𝒑𝒍𝒊𝒛𝒊𝒕𝒆 𝑭𝒖𝒏𝒌𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒇: ℝ𝟐 → ℝ: 𝐟(𝒙, 𝒚) = 𝟎 𝒂𝒖𝒇𝒍ö𝒔𝒆𝒏 𝒛. 𝑩. 𝒏𝒂𝒄𝒉 𝐲(𝒙) 𝒂𝒏 𝒅𝒆𝒓 𝑺𝒕𝒆𝒍𝒍𝒆 (𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 ).
𝑉𝑜𝑟𝑎𝑢𝑠𝑠𝑒𝑡𝑧𝑢𝑛𝑔𝑒𝑛: (1) f(𝑥0 , 𝑦0 ) = 0; (2)
𝜕𝑓 𝜕𝑓
𝜕f(𝑥0 , 𝑦0 )
;
𝑠𝑡𝑒𝑡𝑖𝑔 𝑖𝑛 𝑈𝑚𝑔𝑒𝑏𝑢𝑛𝑔 𝑣𝑜𝑛 (𝑥0 , 𝑦0 ) ; (3)
≠0
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑦
1
Entwickle in Taylorpolynom
y(𝑥) = y(𝑥0 ) + y′(𝑥0 ) (𝑥 − 𝑥0 ) + y′′(𝑥0 ) (𝑥 − 𝑥0 )2
2. Grades an (x0, y0)
2
y(𝑥0 ) = 𝑦0 ;
𝜕f(𝑥, y(𝑥))
𝜕 2 f(𝑥, y(𝑥))
(𝑥0 ) = 0 → y′(𝑥0 ) ;
(𝑥0 ) = 0 → y′′(𝑥0 )
𝜕𝑥
𝜕𝑥 2
𝑰𝒎𝒑𝒍𝒊𝒛𝒊𝒕𝒆 𝑭𝒖𝒏𝒌𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒇: ℝ𝟑 → ℝ: 𝐟(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟎 𝒂𝒖𝒇𝒍ö𝒔𝒆𝒏 𝒛. 𝑩. 𝒏𝒂𝒄𝒉 𝐳(𝒙, 𝒚) 𝒂𝒏 𝒅𝒆𝒓 𝑺𝒕𝒆𝒍𝒍𝒆 (𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 , 𝒛𝟎 ).
𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓
𝜕f(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )
; ;
𝑠𝑡𝑒𝑡𝑖𝑔 𝑖𝑛 𝑈𝑚𝑔𝑒𝑏𝑢𝑛𝑔 𝑣𝑜𝑛 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) ; (3)
≠0
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕z(𝑥0 , 𝑦0 )
𝜕z(𝑥0 , 𝑦0 )
Entwickle in Taylorpolynom
(𝑥 − 𝑥0 ) +
(𝑦 − 𝑦0 )
z(𝑥, 𝑦) = z(𝑥0 , 𝑦0 ) +
1. Grades an (x0, y0, z0,):
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕f(𝑥, 𝑦, z(𝑥, 𝑦))
𝜕z(𝑥0 , 𝑦0 ) 𝜕f(𝑥, 𝑦, z(𝑥, 𝑦))
𝜕z(𝑥0 , 𝑦0 )
(𝑥0 , 𝑦0 ) = 0 →
(𝑥0 , 𝑦0 ) = 0 →
z(𝑥0 , 𝑦0 ) = 𝑧0 ;
;
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝑉𝑜𝑟𝑎𝑢𝑠𝑠𝑒𝑡𝑧𝑢𝑛𝑔𝑒𝑛: (1) f(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) = 0; (2)
𝐟 (𝒙, 𝒚, 𝒛)
𝐱(𝒛)
𝑰𝒎𝒑𝒍𝒊𝒛𝒊𝒕𝒆 𝑭𝒖𝒏𝒌𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒇: ℝ𝟑 → ℝ𝟐 : 𝐟⃗(𝒙, 𝒚, 𝒛) = ( 𝟏
) = ⃗𝟎⃗ 𝒂𝒖𝒇𝒍ö𝒔𝒆𝒏 𝒛. 𝑩. 𝒏𝒂𝒄𝒉 (
) 𝒂𝒏 𝒅𝒆𝒓 𝑺𝒕𝒆𝒍𝒍𝒆 (𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 , 𝒛𝟎 ).
𝐲(𝒛)
𝐟𝟐 (𝒙, 𝒚, 𝒛)
⃗⃗; (2)
(1) ⃗f(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) = 0
(𝑓1 )𝑥
𝜕𝑓⃗
=(
(𝑓2 )𝑥
𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)
Entwickle in Taylorpolynom
1. Grades an (x0, y0, z0,):
(𝑓1 )𝑦
(𝑓2 )𝑦
(𝑓1 )𝑧
𝜕f⃗(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )
𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙ä𝑟 ⟺ det|𝐴| ≠ 0 ⟺ ∀𝜆 ≠ 0
) 𝑠𝑡𝑒𝑡𝑖𝑔 𝑖𝑛 𝑈 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) ; (3)
(𝑓2 )𝑧
𝜕(𝑥, 𝑦)
𝜕f⃗(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) x′(𝑧0 )
𝜕f⃗(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )
x′(𝑧0 )
0
(
)+
=( )→(
)
0
y′(𝑧0 )
y′(𝑧0 )
𝜕(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑧
𝑥
𝑥0
x′(𝑧0 )
(𝑦) = (𝑦 ) + (
) (𝑧 − 𝑧0 )
0
y′(𝑧0 )
Fourier-Reihen:
∞
f(𝑥) = 𝑎0 + ∑∞
𝑛=1(𝑎𝑛 cos 𝑛𝑥 + 𝑏𝑛 sin 𝑛𝑥 ) = 𝑎0 + ∑𝑛=1 𝐴𝑛 sin(𝑛𝑥 + 𝜑𝑛 )
1
2𝜋
1
2𝜋
Periode 2π: 𝑎0 = 2𝜋 ∫0 f(𝑥) 𝑑𝑥 ; 𝑎𝑛 = 𝜋 ∫0 f(𝑥) cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥; 𝑏𝑛
1
2𝜋
𝐴𝑛 = √𝑎𝑛 2 + 𝑏𝑛 2 ; 𝜑𝑛 = arctan
∫ f(𝑥) sin 𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝜋 0
Periode T:
𝑎𝑛
𝑏𝑛
1
2
𝑎0 = ∫ … 𝑎𝑛 ; 𝑏𝑛 = ∫ …
𝑇
𝑇
Bei geraden Funktionen f(-x)=f(x) nur cos(nx), bei ungeraden Funktionen f(-x)=-f(x) nur cos(nx)-Terme.
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-2-
[email protected]

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