Übungsblatt 3

Prof. Dr. Rainer Dahlhaus
Wahrscheinlichkeitstheorie 1
Sommersemester 2016
3. Übungsblatt
Aus der Vorlesung ist bekannt: Seien (Ω, A), (X , B) Messräume (d.h. A, B sind σ-Algebren
über Ω bzw. X ). Sei X : Ω → X eine Abbildung.
• X heißt (A, B)-messbar, falls X −1 (B) ⊂ A.
• Ist E ⊂ X ein Erzeugendensystem von B, so ist X bereits (A, B)-messbar, falls X −1 (E) ⊂
A.
Aufgabe 9 (Messbarkeit kombinierter Abbildungen, 4 = 3 + 1 Punkte).
Sei (Ω, A) ein Messraum und Xn : Ω → R eine Folge von (A, BR )-messbaren Abbildungen.
(a) Für jedes ω ∈ Ω sei die Folge (Xn (ω))n∈N beschränkt. Zeigen Sie:
(i) Für festes m ∈ N sind supn≥m Xn , inf n≥m Xn : Ω → R (A, BR )-messbare Abbildungen.
(ii) lim supn→∞ Xn , lim inf n→∞ Xn : Ω → R sind (A, BR )-messbare Abbildungen.
Hinweis: Für reelle Folgen (xn )n∈N gilt die Definition lim supn→∞ xn := inf m∈N supn≥m xn
bzw. lim inf n→∞ xn := supm∈N inf n≥m xn .
(iii) Ist X : Ω → R eine Abbildung mit X = limn→∞ Xn punktweise, so ist X (A, BR )messbar.
(b) Sei B ∈ BR . Die Ersteintrittszeit τB : Ω → R in B sei definiert durch
τB := inf{n ∈ N : Xn ∈ B}
(setze inf ∅ = ∞).
Zeigen Sie, dass die trunkierte Ersteintrittszeit τB ∧ M für jedes M ∈ N = {1, 2, 3, ...}
eine (A, BR )-messbare Abbildung ist. Hierbei bezeichnet a ∧ b := min{a, b} das Minimum
von a, b ∈ R.
Aufgabe 10 (Messbarkeit stückweise definierter Abbildungen, 4 = 1.5 + 1.5 + 1
Punkte).
Seien (Ω, B), (X , C) Messräume und X : Ω → X eine Abbildung. In dieser Aufgabe werden wir
zeigen, dass zum Nachweis der Messbarkeit von X die Messbarkeit von Einschränkungen von
X hinreichend ist. Im Spezialfall Ω = X = R kann so beispielsweise die stückweise Stetigkeit
von X bereits ausreichend sein, um die (BR , BR )-Messbarkeit von X zu zeigen.
P
(a) Sei (Ai )n∈N ⊂ B eine höchstens abzählbare Folge disjunkter Mengen mit i∈N Ai = Ω.
Zeigen Sie, dass dann gilt:
X:Ω→X
(B, C)-messbar
⇔
∀i ∈ N : X|Ai : Ai → X
Hinweis: Drücken Sie X −1 (C) durch die (X|Ai )−1 (C) aus.
1
(B|Ai , C)-messbar.
Es seien nun (Ω, d) und (X , ρ) metrische Räume. Die Borelsche σ-Algebra auf Ω ist definiert
durch BΩ := A({B ⊂ Ω : B offen in (Ω, d)}).
Sei A ⊂ Ω eine Teilmenge. Mit der eingeschränkten Metrik d|A×A wird A wieder zu einem
metrischen Raum, wobei die offenen Mengen durch {B ∩ A : B offen in (Ω, d)} gegeben sind.
(b) Zeigen Sie:
BA = BΩ |A := BΩ ∩ A.
Hinweis: Übungsblatt 1, Aufgabe 4(b).
(c) Die Einschränkung X|A : A → X sei stetig. Zeigen Sie: X|A ist (BΩ |A , BX )-messbar.
Hinweis: Die Urbilder offener Mengen unter stetigen Abbildungen sind wieder offene Mengen.
Aufgabe 11 (Messbarkeit von reellwertigen Abbildungen, 4 = 3 + 1 Punkte).
(a) Zeigen Sie, dass die folgenden Abbildungen f, g : R → R (BR , BR )-messbar sind:
(
sin(x−1 ), x 6= 0,
(i)
f (x) =
0,
x = 0.
(
0, x = 0 oder x ∈ R\Q,
(ii)
g(x) = 1
, 0 6= x = pq mit p ∈ Z, q ∈ N teilerfremd.
q
(b) Sei h : R → R eine überall differenzierbare Funktion. Zeigen Sie, dass die Ableitung
h0 : R → R (BR , BR )-messbar ist.
Hinweis: Nutzen Sie die Ergebnisse von Aufgabe 9 und 10.
Aufgabe 12 (Das induzierte Maß, 4 = 2 + 1 + 1 Punkte).
Seien (Ω, A), (X , B) Messräume und X : Ω → B eine (A, B)-messbare Abbildung. Sei µ ein
Maß auf (Ω, A). Das Bildmaß bzw. induzierte Maß von µ unter X auf (X , B) ist definiert durch
µX : A0 → R,
µX (A) := µ(X −1 (A))
Zeigen Sie:
(a) µX ist tatsächlich ein Maß auf (X , B).
(b) Ist µ ein endliches Maß, so ist auch µX ein endliches Maß.
(c) Ist µ ein σ-endliches Maß, so muss im Allgemeinen µX kein σ-endliches Maß mehr sein.
Hinweis: Wählen Sie für ein Gegenbeispiel zum Beispiel X = {0}.
Abgabe: In Zweiergruppen, bis spätestens Donnerstag, den 12. Mai 2016, 09:15 Uhr vor Beginn
der Vorlesung in den Zettelkästen 33 bzw. 34 in INF205, Etage 1.
Homepage der Vorlesung:
http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hu020/WT1/index.html
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