gk ma 11
Joliot-Curie-Gymnasium Görlitz
Übung
1. Klausur
Versucht erst die Aufgaben (mithilfe des Hefters, Buches, Internets, MitschülerInnen usw.) zu lösen und
schaut erst dann in die Lösungen.
Frage: Kann ich Definitionsbereiche bestimmen?
Aufgabe 1 Bestimmen Sie die Definitionsbereiche folgender Funktionen:
a) y = f (x) =
√
x+2−3
b) y = g(x) = ln (x + 5) − 1
c) y = h(x) =
x2
2
−9
Frage: Kann ich Grenzwerte im Unendlichen bestimmen?
Aufgabe 2 Untersuchen Sie das Verhalten folgender Funktionen im Unendlichen:
a) y = f1 (x) =
−3x3
5
b) y = f2 (x) = 2
x
d) y = f4 (x) =
7x2 − 1
4 − 3x2
e)
y = f5 (x) = 0,001x2
c)
x
3
y = f3 (x) = −
4
f)
y = f6 (x) =
x3
2−x
Frage: Kann ich waagerechte und senkrechte Asymptoten bestimmen?
Aufgabe 3 Ermitteln Sie sämtliche waagerechten und senkrechten Asymptoten und gegen Sie deren Gleichung an.
a) y = f (x) =
5x2 − x + 3
18 − 2x2
b) y = g(x) =
x−1
2
x − 2x − 3
c)
y = h(x) =
x2 − x
x − 2,5
Frage: Kann ich die Stetigkeit einer Funktion bestimmen?
1
2 x + 1 ; x < 2 für alle x ∈ R stetig ist.
3x − 4 ; x ≥ 2
Aufgabe 4 Zeigen Sie, dass die Funktion f mit f (x) =
Aufgabe 5 Zeigen Sie, dass die Funktion f mit f (x) =
x2 + 1 ; x 6= 0
unstetig ist.
−2
; x=0
Geben Sie die Art der Unstetigkeitsstelle an.
Aufgabe 6 Gegeben sei die Funktion f mit: f (x) =
x2 + 1
; x≤0
x2 − 7x + 10
; x>0
x2 − 8x + 15
Bestimmen Sie sämtliche Unstetigkeitsstellen der Funktion f und charakterisieren Sie deren Art.
Weiterhin sollte man: lineare und quadratische Funktionen zeichnen und ihre Nullstellen berechnen können;
Funktionswerte und Argumente von Funktionen errechnen können (und überhaupt wissen, was die Begriffe meinen);
Extremwerte erkennen und bestimmen können; das Monotonieverhalten erkennen und bestimmen können, ebenso
wie Symmetrien;
außerdem sollte man unbedingt die mathematische Form beherrschen (Schreibweise von Punkten, Grenzwerten,
Stellen) ...
Leerseite
Lösung 1
a) Df = {x ∈ R|x ≥ −2}
b) Df = {x ∈ R|x > −5}
c) Df = {x ∈ R|x 6= −3, x 6= 3}
Beachte den Unterschied zwischen ≥ und >.
Lösung 2
a)
lim f1 (x) = +∞
b)
x→+∞
lim f1 (x) = −∞
lim f4 (x) = − 73
e)
lim f4 (x) =
x→−∞
lim f5 (x) = +∞
x→+∞
− 37
lim f3 (x) = 0
x→+∞
lim f3 (x) = −∞
x→−∞
x→+∞
x→−∞
c)
lim f2 (x) = 0
x→−∞
d)
lim f2 (x) = 0
x→+∞
f)
lim f5 (x) = +∞
lim f6 (x) = +∞
x→+∞
lim f6 (x) = +∞
x→−∞
x→−∞
Lösung 3
a) y = − 25
b) y = 0
x = −3; x = 3
c)
x = −1; x = 3
/
x = 2,5
Lösung 4
Die linearen Funktionen sind für x < 2 und x ≥ 2 stetig. Es gilt die Stelle x0 = 2 zu untersuchen.
1. y0 = f (2) = 3 · 2 − 4 = 2
2. linksseitige Grenzwert: lim
h→0
1
2 (2
− h) + 1 = lim 1 − 12 h + 1 = 1 + 1 = 2 = gL
h→0
rechtsseitige Grenzwert: lim (3(2 + h) − 4) = lim (6 + 3h − 4) = 6 − 4 = 2 = gR
h→0
h→0
gL = gR = g
3. y0 = g =⇒ f ist für alle x ∈ R stetig.
Lösung 5
Die Funktion ist für alle Stellen außer x0 = 0 stetig. Es gilt somit die Stelle x0 = 0 zu untersuchen.
1. f (0) = −2
2. linksseitige Grenzwert
lim (0 − h)2 + 1 = lim h2 + 1 = +1
h→0
h→0
rechtsseitige Grenzwert
lim (0 + h)2 + 1 = lim h2 + 1 = +1
h→0
h→0
+1 = +1 =⇒ lim f (x) = +1
x→0
3. −2 6= +1
Die Funktion f ist an der Stelle x0 = 0 nicht stetig. Da sie in diesem Punkt nicht stetig ist, ist die gesamte Funktion unstetig.
Die Unstetigkeitsstelle ist eine Lücke, da sowohl der Funktionswert y0 an der Stelle x0 , als auch der Grenzwert
lim f (x) existieren; diese jedoch nicht übereinstimmen.
x→x0
Lösung 6
x = 3 Polstelle;
x = 5 Lücke.
LATEX
T.Müller
x = 0 Sprungstelle;
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