M1, SS 2015, Übungszettel 10 Auf diesem Zettel werden in der

M1, SS 2015, Übungszettel 10 Auf diesem Zettel werden in der Woche vom 15. Juni die folgenden
Aufgaben gekreuzt: Gruppen 1-6: keine; Gruppen 7 und 8: 37.
Jordansches Lemma 2:
Sei z 7→ g (z) eine stetige Funktion auf der Menge {|z| ≥ R 0 , ℑz ≥ 0} und es gelte weiterhin
lim max{|g (z)|; z ∈ γR } = 0 ,
R→∞
wobei γR der Kreisbogen [0, α] 3 Θ 7→ Re i Θ ist, mit 0 < α ≤ π. Dann
Z
lim
R→∞ γR
e −i kz g (z)d z = 0
für jede Zahl k < 0.
Problem 37: Benutzen Sie den Integralsatz und die Integralformel von Cauchy (cf. Übungszettel
9) um die Fouriertransformation von h(x) := (1 + x 2 )−1 zu bestimmen, mit k ≤ 0:
1
F [g ](k) = p
2π
e −i kx
dx .
2
−∞ 1 + x
Z
∞
Gehen Sie dabei wie folgt vor:
1. Sei f (z) =
e −i kz
.
1+z 2
Bestimmen Sie das Wegintegral von f entlang des Randes eines Kreises γε
mit Radius ε > 0 um i .
2. Bestimmen Sie weiterhin das Wegintegral von f entlang des geschlossenen Weges γ̂R , wel(2)
cher durch die Strecke γ(1)
R von −R nach +R, R > 0, und den Halbkreisbogen γR von R nach
−R (mit positivem Imaginärteil) gebildet wird.
3. Zeigen Sie dass
Z
lim
R→∞ γ(2)
R
f (z)dz = 0 .
[Achtung: Das Jordansche Lemma 2 kann nur für k < 0 benutzt werden, daher ist es effizienter
die Aussage für alle k ≤ 0 direkt zu zeigen.]
4. Verwenden Sie 1.-3. und den Cauchysches Integralsatz um
men.
1
e −i kx
−∞ 1+x 2 dx
R∞
mit k ≤ 0 zu bestim-
Wie kann man jetzt F [ f ](k) mit k > 0 bestimmen? [Hinweis: x 7→ 1/(1 + x 2 ) ist gerade.]
Problem 38: Beweisen Sie,
Z
lim
R→∞ 0
R
π
sin(x)
dx = .
x
2
Hinweis: Integrieren Sie die Funktion f (z) = e i z z −1 entlang des Randes des Sektors {² ≤ |z| ≤ R, 0 ≤
arg(z) ≤ π} für 0 < ² < 1 < R und verwenden Sie das Jordan Lemma.
Problem 39: Bezeichne Ω den Teil der komplexen Zahlenebene, bei dem die negativen reellen
Zahlen und 0 entfernt wurden. Bestimmen Sie die komplexe Stammfunktion von 1/z auf Ω indem
Sie von 1 nach z entlang eines Weges integrieren, der sich aus einem Intervall auf der positiven
reellen Achse von 1 bis |z| sowie einem Kreisbogen von |z| nach z zusammensetzt.
Problem 40: Beweisen Sie,
R
Z
lim
R→∞ 0
R
Z
2
sin(x ) = lim
R→∞ 0
p
2π
cos(x )d x =
.
4
2
2
Hinweis: Betrachten Sie das Wegintegral der Funktion f (z) = e i z entlang des Randes der Menge
R∞
p
2
{0 ≤ |z| ≤ R, 0 ≤ arg(z) ≤ π4 } für R > 1, verwenden Sie das bekannte Integral −∞ e −x d x = π sowie
Z
lim
R→∞ 0
π/4
e −2R
2
sin ϕ cos ϕ
Rd ϕ = 0 .
Problem 41: Beweisen Sie,
Z
lim
R→∞ 0
R
x
s−1
πs
cos xd x = Γ(s) cos( ),
2
Z
lim
R→∞ 0
R
x s−1 sin xd x = Γ(s) sin(
πs
),
2
für 0 < s < 1.
Hinweis: Integrieren Sie die Funktion f (z) = z s−1 e i z entlang des Randes des Sektors {² ≤ |z| ≤ R, 0 ≤
arg(z) ≤ π/2} für 0 < ² < 1 < R, verwenden Sie das Jordan lemma und die Integraldarstellung Γ(s) =
R ∞ s−1 −x
e d x der Gamma Funktion für s > 0.
0 x
2

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