Funktionentheorie II

Dortmund, 25. Januar 2016
Technische Universität Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. Rainer Brück
Funktionentheorie II
12. Übungsblatt, WiSe 2015/16
1) Beweisen Sie die folgende 3. Version des Maximumprinzips für holomorphe Funktionen:
Es sei D ⊂ C ein Gebiet, f eine holomorphe Funktion in D und es gebe eine Konstante
M ≥ 0 mit lim sup |f (z)| ≤ M für alle ζ ∈ ∂∞ D. Dann ist |f (z)| ≤ M für alle z ∈ D.
z→ζ
Dabei ist ∂∞ D := ∂D, wenn D beschränkt und ∂∞ D := ∂D ∪ {∞}, wenn D unbeschränkt ist.
2) Es sei D ⊂ C ein einfach zusammenhängendes Gebiet und f eine holomorphe Funktion in D. Weiter sei ϕ eine beschränkte, nullstellenfreie holomorphe Funktion in D.
Schließlich sei M ≥ 0 eine Konstante und A, B ⊂ ∂∞ D mit A ∪ B = ∂∞ D und
A ∩ B = ∅, sodass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind:
a) Für jedes a ∈ A gelte lim sup |f (z)| ≤ M .
z→a
b) Für jedes b ∈ B und ε > 0 gelte lim sup |f (z)||ϕ(z)|ε ≤ M .
z→a
Zeigen Sie, dass dann |f (z)| ≤ M für alle z ∈ D gilt.
3) a) Es sei a ≥ 21 , W :=
z ∈ C : | arg z| <
π
2a
ein Winkelraum, f eine holomorphe
Funktion in W und es gebe eine Konstante M ≥ 0 mit lim sup |f (z)| ≤ M für alle
z→ζ
ζ ∈ ∂W. Weiter seien P , b, r0 ∈ R Konstanten mit P ≥ 0, b < a, r0 ≥ 0 und
b
|f (z)| ≤ P e|z| für alle z ∈ W mit |z| ≥ r0 . Zeigen Sie, dass dann |f (z)| ≤ M für
alle z ∈ W gilt.
b) Es sei W wie in (a), f eine holomorphe Funktion in W und es gebe eine Konstante
M ≥ 0 mit lim sup |f (z)| ≤ M für alle ζ ∈ ∂W. Weiter gebe es zu jedem δ > 0
z→ζ
a
Konstanten P = P (δ) ≥ 0 und r0 = r0 (δ) ≥ 0 mit |f (z)| ≤ P eδ|z| für alle z ∈ W
mit |z| ≥ r0 . Zeigen Sie, dass dann |f (z)| ≤ M für alle z ∈ W gilt.
4) Es sei S der Horizontalstreifen mit S :=
z ∈ C : | Im z| <
π
2
, f eine holomorphe
Funktion in S und M ≥ 0 eine Konstante mit lim sup |f (z)| ≤ M für alle ζ ∈ ∂S.
z→ζ
Weiter gebe es zu jedem δ > 0 Konstanten P = P (δ) ≥ 0 und x0 = x0 (δ) ≥ 0 mit
x
|f (x + iy)| < P eδe für alle x + iy ∈ S mit |x| ≥ x0 . Zeigen Sie, dass dann |f (z)| ≤ M
für alle z ∈ S gilt.
www.mathematik.uni-dortmund.de/sites/lehrstuhl-funktionentheorie/funktionentheorie-ii-2015

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