Blatt 9 - TU Dortmund

WS 1516
TU Dortmund
Prof. Dr. Matthias Röger
Dipl.-Math. Carsten Zwilling
Analysis I
Blatt 9
Abgabe der Hausaufgaben: 11.01.2016 ; Test der Präsenzaufgaben: 06.01..2015-11.01.2016
Präsenzaufgabe 1 (4 Punkte). Zeigen Sie mithilfe der ε, δ-Definition von Stetigkeit
(Definition 6.8), dass die Funktion f : [0, ∞) → R gegeben durch
r
x
f (x) :=
+ 15
7
stetig ist.
Präsenzaufgabe 2 (4 Punkte). Zeigen Sie mithilfe der ε, δ-Definition von Stetigkeit
(Definition 6.8), dass die Funktion f : C → C gegeben durch
f (z) := 3z 2 + i
stetig ist.
Präsenzaufgabe 3 (4 Punkte). Zeigen Sie mithilfe der ε, δ-Definition von Stetigkeit
(Definition 6.8), dass die Funktion f : R → R gegeben durch
f (x) := xχ(0,∞) (x)
stetig ist.
Aufgabe 1 (4 Punkte). Überprüfen Sie, ob die folgenden Grenzwerte existieren und berechnen
Sie diese gegebenenfalls.
√
1 + x12
(x + 7)2 x + 2
x3 − 6x2 + 12x − 8
√
√
b)
lim
c)
lim
a) lim
x→∞ 7x2 x − 2x x
x→2
x→0 1 + 14
x−2
x
p
x2 + 3x + 1 − x
d) lim
x→∞
Aufgabe 2 (4 Punkte). Sei die Funktion f : [−1, 2] → R gegeben durch
1
f (x) := x .
e
Zeigen Sie, dass f einen Fixpunkt hat, d.h. dass ein x0 ∈ [−1, 2] existiert mit f (x0 ) = x0 .
Aufgabe 3 (4 Punkte). i) Für eine Funktion f : (a, b) → R ist der linksseitige Limes in
einem Punkt x0 ∈ (a, b] definiert durch
lim f (x) := x→x
lim f (x) := lim f (a,x0 ) (x).
x%x0
x→x0
0
x<x0
Analog ist der rechtsseitige Limes für ein x0 ∈ [a, b) definiert durch
lim f (x) := lim f (x) := lim f (x).
x&x0
x→x0
x>x0
x→x0
(x0 ,b)
Zeigen Sie: Existieren für eine monotone Funktion f : (a, b) → R in jedem Punkt sowohl
links- als auch rechtsseitiger Limes und gilt
lim f (x) = lim f (x)
x%x0
x&x0
für alle x0 ∈ (a, b),
so ist f stetig auf (a, b).
ii) Begründen Sie mithilfe eines geeigneten Gegenbeispiels, weshalb die Voraussetzung der
Monotonie in Teil i) wesentlich ist.
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