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代数学Ｂレポート問題
5 月 11 日出題, 5 月 25 日提出締切
提出先: レポートボックス No. 5
1 G を群とする.
(1) G の単位元 e は一意的であることを示せ.
(2) G の任意の元 a に対する逆元 a−1 は一意的であることを示せ.
(3) an の逆元は (a−1 )n であることを示せ.
2 H を群 G の部分集合とする. G の２項演算 · から H の２項演算が定
まり, H が群になるとき, H を G の部分群であるという.
(1) 群 G の部分集合 H が G の部分群であるための必要十分条件は,
下記の２条件をみたすことであることを示せ.
• ∀ x ∈ H に対して, x−1 ∈ H,
• ∀ x, ∀ y ∈ H に対して, x · y ∈ H.
(2) 上記の２条件は, 下記の条件と同値であることを示せ.
＊ ∀ x, ∀ y ∈ H に対して, x−1 · y ∈ H.
3 r 次巡回置換 σ = (i1 , . . . , ir ) は (r − 1) 個の互換の積
(i1 , i2 ) · (i2 , i3 ) · · · (ir−1 , ir )
として表示できることを示せ.
4 n 次対称群 Sn の r 次巡回置換 σ = (i1 , . . . , ir ) と s 次巡回置換 τ =
(j1 , . . . , js ) が, 文字の集合として {i1 , . . . , ir } ∩ {j1 , . . . , js } = ∅ をみた
すならば, σ と τ は σ · τ = τ · σ をみたすことを示せ.
5 n 次対称群 Sn の偶置換全体の集合 An は Sn の部分群でその位数は
n!/2 であることを示せ. また, 奇置換全体の集合が Sn の部分群になる
か判定し, その理由を述べよ.
6 5 次交代群 A5 と正二十面体群との同型をあたえるような正二十面体の
面, 辺, 頂点の名称のつけ方を 1 組与えよ. 正二十面体の展開図は下記
を利用せよ.
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~matsu/regular/icosan1.pdf
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