2015/3/16修正版

斉次不等式の判別式
安藤哲哉 (千葉大理学研究科)
2015 年 3 月 16 日修正版
¡
¢
n + 1 変数 d 次斉次多項式全体の集合 H 0 PnR , O(d) の部分ベクトル空間
e 6= 0 に対し，閉凸錐
H 6= 0 と，Rn+1 内の閉凸錐 A
¯
©
ª
e H) := f ∈ H ¯ 任意の a ∈ A
e に対して f (a) = 0
D = D(A,
を考える．その境界 ∂D の部分集合 Y に対し，Y のザリスキー閉包を Y として，
Y ∩ (∂D) の ∂D における開核の閉包が Y と一致するとき，Y は D の，あるい
e ⊂ Pn とおく．線形系 H が定める有
は，∂D の面成分であると言おう．A = P(A)
R
n
N
∨
理写像を Φ: PR · · · → PR = P(H ) (N := dim H − 1) とし，X := Φ(A − Bs H)
を (A, H) の特性多様体と呼ぶことにする．s ∈ A に対して，
¯
©
ª
Ls := f ∈ ∂D ¯ f (s) = 0 ⊂ ∂D
とおき，P = Φ(s) ∈ X に対して，LP := Ls と定義する．LP を点 P における
局所錐と呼ぼう．
[
[
LP である．
Ls であり，Bs H = ∅ ならば，∂D =
命題 1. ∂D =
s∈A
命題&定義 2. F◦ :=
[
P ∈X
LP とし，D における F◦ の解析的位相に関
P ∈Reg(X)
e H) とおく．dim F = N のとき，F は D の面成分で
する閉包を F = F(A,
ある．F を ∂D
[の主成分と呼ぼう．また C := ∂X が一定の条件を満たすと
◦
き，E :=
LP とし，E◦ の H における解析的位相に関する閉包を
P ∈Reg(C)
e H) とすると，E も D の面成分になる．E を ∂D の端成分と呼ぼう．
E = E(A,
¯
©
ª
G は 3 次巡回群とし，自然に R3 に作用させる．R+ := t ∈ R ¯ t = 0 ,
¯
¡
¢G
©
ª
Hd := H 0 P2R , O(d) , H0d := f ∈ Hd ¯ f (1, 1, 1) = 0 ,
+
3
0
3
Dd = D(R3 , Hd ), Cd = D(R3 , H0d ), D+
d = D(R+ , Hd ), Cd = D(R+ , Hd )
とおく．G が対称群の version もあるが，紙面の都合で割愛する．(P2R )G = {(1 :
1 : 1)} なので，Sing(P3R /G) = {π(1 : 1 : 1)} である．
Hd の元 f は，その Sd := xd + y d + z d の係数が 1 であるときモニックと呼
び，f が Sd の項を持たないとき，f は無限遠点にあると言うことにする．
¯
¯
©
ª
©
ª
H̆d := f ∈ Hd ¯ f はモニック , H∞
f ∈ Hd ¯ f は無限遠点にある
d :=
とおく．主成分，端成分のザリスキー閉包と H̆d の共通部分の定義方程式を，Dd ,
D+
d 等の判別式と呼ぶのが妥当と思う．
e = R3 のとき P2 /G ∼
e = R3+ のとき P2+ /G ∼
命題 3. d = 3 とする．A
= X, A
=X
R
が成り立つ．
この命題により，特性多様体 X の特異点は孤立特異点 1 点のみであることが
わかるが，このことが，次の定理を導く．
定理 4. d = 3 とする．
(1) d が偶数のとき，∂Cd = F(R3 , H0d ) であって，∂Cd は唯一の面成分から
成る．
(2) d が偶数のとき，∂Dd は F(R3 , Hd ) と Cd の合併集合で，この 2 つの面成
分から成る．
+∞
3
0
3
0
(3) ∂C+
:= L(0,0,1) の高々3 つの面成
d は F(R+ , Hd ), E(R+ , Hd ), および Cd
分の和集合である．
+
+∞
3
3
(4) ∂D+
:= L(0,0,1) の高々4 つ
d は F(R+ , Hd ), E(R+ , Hd ), Cd , および Dd
の面成分の和集合である．
+∞
C+∞
を無限遠成分と呼ぼう．これらは無限遠超平面 H∞
d 内の凸錐で
d , Dd
ある．対称不等式の凸錐についても，同様な定理が得られている．
d = 3, 4 の場合には，判別式はすべて決定されていて，かなりの部分は拙著
「不等式」数学書房に書いてある．また，1 年前の学会でも，その続報をお話し
た．その後得られた結果としては，例えば，以下の定理がある．記号の意味は，
最後に紹介する文献を参照してほしい．
定理 5. disc4 を D4 の判別式とする (非常に長い多項式である)．f = S4 +
pT3,1 + rS2,2 + (v − 1 − 2p − r)U S1 ∈ H̆4 について，任意の a, b, c ∈ R に対し
て f (a, b, c) = 0 が成り立つための必要十分条件は，v = 0 であって，次の条件
(1) または (2) または (3) が成り立つことである．
(1) v = 0 かつ r = p2 − 1.
√
(2) 0 < v 5 27 かつ disc4 (p, p, r, v) = 0 かつ r = p2 − (v + 2 3v + 1).
p2
(3) v > 27 かつ disc4 (p, p, r, v) = 0 かつ r =
+ 2.
4
d = 5, 6 の場合にも，一部の判別式は計算済みである．D+
5 あたりになると，
LP のザリスキー閉包 LP を線形系と考えたとき，それが定める特性多様体が代
数曲面になるので，局所錐 LP が主成分 FP や端成分 EP を持つ．その構造も
だんだん解明されつつある．
詳細はとても長いのでプレプリントを参照してほしい．プレプリントは千葉大
の私のホームページにあるので，[安藤哲哉] で検索し，
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/˜ando/index.html
を見つけてもらい，論文・プレプリコーナーの論文 [9] を download してほしい．
「不等式」正誤表にも，ほぼ，同等な内容が書いてある．

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