数学 A2 §8 極大・極小 8.1. 極大と極小. 定義 8.1. 2 変数関数 z = f (x, y) が, (a, b) の近くの点 (x, y) に対して (x, y) ̸= (a, b) ならば f (a, b) > f (x, y) のとき, f は (a, b) において極大であるといい，値 f (a, b) を極大値とよぶ. 同様に, (a, b) の近くの点 (x, y) に対して (x, y) ̸= (a, b) ならば f (a, b) < f (x, y) のとき, f は (a, b) において極小であるといい，値 f (a, b) を極小値という．極大値と極小値を合わせて極値という. 注. 逆にいうと, (a, b) で極値をとらないということは, (a, b) にいくらでも近い点くて f (x, y) > f (a, b) となる点も, f (x, y) < f (a, b) となる点もあることになる. 8.2. 極値をとり得る点. z = f (x, y) が (a, b) で極大値を取ると仮定すると, 平面 y = b での断面曲線が x = a で極大になることから fx (a, b) = 0 が分かり, 平面 x = a での断面曲線が y = b で極大になることから fy (a, b) = 0 が分かる. 同じことは極小値についてもいえる. 定理 8.2. z = f (x, y) が点 (a, b) で極値をとるならば, fx (a, b) = fy (a, b) = 0 例題 8.3. z = ye−x 2 −y 2 とすると zx = −2xye−x ) ( 1 りうる点は (x, y) = 0, ± √ 2 2 −y 2 , zy = (1 − 2y 2 )e−x 2 −y 2 である. よって, 極値をと 8.3. 極値判定. fx = fy = 0 となるからといって, 必ずしも極値をとるとは限らない. 例 8.4. z = x2 − y 2 は (0, 0) において zx = 0, zy = 0 となるが, (0, 0) で極値をとらない. fx (a, b) = fy (a, b) = 0 のとき, 実際に極値とるか判定する方法を考えよう. (a, b) の近くの点 (x, y) = (a + h, b + k) における f の 2 次近似をとると, 1 ε2 f (a + h, b + k) = f (a, b) + {fxx (a, b)h2 + 2fxy (a, b) + fyy (a, b)k 2 } + ε2 , lim =0 2 (h,k)→(0,0) h + k 2 2 ゆえに, A = fxx (a, b), B = fxy (a, b), C = fyy (a, b) とおくとき, 2 次式 Q(h, k) = Ah2 +2Bhk +Ck 2 が (h, k) ̸= 0 に対して常に Q > 0 となるか, 常に Q < 0 となるか, あるいはそのどちらでもないかにより, それぞれ極小, 極大, 極値をとらないことが分かる. ( )2 B AC − B 2 2 まず, A > 0 であると仮定すると, Q(h, k) = A h + k + k と変形できることから, A A (h, k) ̸= (0, 0) に対して AC − B 2 > 0 ならば常に Q > 0, AC − B 2 < 0 ならば Q > 0 にも Q < 0 にもなることが分かる. 同様の考察を A < 0, A = 0 についても行うことにより, 次を得る. 定理 8.5. fx (a, b) = fy (a, b) = 0 とする. D = fxx (a, b)fyy (a, b) − {fxy (a, b)}2 とおくと, (I) D > 0 なら極値をとり, ⃝ 1 fxx (a, b) > 0 なら極小 (II) D < 0 なら極値をとらない. ⃝ 2 fxx (a, b) < 0 なら極大注. D = 0 のときは, この方法では判定できない (極値をとるかもしれないし, とらないかもしれない). ( ) 1 −x2 −y 2 例題 8.6. z = ye の極値をとりうる点は 0, ± √ であった. 2 ( ) 1 1 0, √ においては D > 0, fxx < 0 となるので極大 (極大値 √ ). 2 ) 2e ( 1 1 0, − √ においては D > 0, fxx > 0 となるので極小 (極小値 − √ ). 2 2e