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任意の xµ に対して kαβ xα xβ “ 0 となるという仮定の下で 18 ページ，式
(2.43)
kαβ ` kβα “ 0
(2.43)
が成り立つことを示せ．
解答
α “ β “ ν1 のとき
任意の xµ に対して kαβ xα xβ “ 0 が成り立つのだから，特に任意の固定
した添え字 ν1 pν1 “ 0 „ 3q に対して xµ “ δ µν1 と選べる．するとこれを式
(2.43) に代入すると，
kαβ xα xβ “kαβ δ αν1 δ βν1
“kν1 ν1
となる．これが 0 に等しいから，これより α “ β “ ν1 のとき，
kαβ ` kβα “ kν1 ν1 ` kν1 ν1 “ 0
(1)
が成り立つ．
α “ ν1 , β “ ν2 のとき
今度は xµ “ δ µν1 ˘ δ µν2 ととってこれを式 (2.43) に代入すると
`
˘
kαβ xα xβ “kαβ pδ αν1 ˘ δ αν2 q δ βν1 ˘ δ βν2
“kαβ δ αν1 δ βν1 ˘ kαβ δ αν1 δ βν2 ˘ kαβ δ αν2 δ βν1 ` kαβ δ αν2 δ βν2
“kν1 ν1 ˘ kν1 ν2 ˘ kν2 ν1 ` kν2 ν2
これが 0 に等しいので結局，
kν1 ν1 ` kν1 ν2 ` kν2 ν1 ` kν2 ν2 “ 0
(2)
kν1 ν1 ´ kν1 ν2 ´ kν2 ν1 ` kν2 ν2 “ 0
(3)
2
が成り立つ．したがって上の式から下の式を引いて 2 で割ると，
kαβ ` kβα “ kν1 ν2 ` kν2 ν1 “ 0
が成り立つ．以上より，全ての α, β で
kαβ ` kβα “ 0
が示せた．
(4)

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