問題 12.7 Virasoro 演算子に関する訓練

問題 12.7 Virasoro 演算子に関する訓練
(a) Virasoro 代数
⊥
⊥
[L⊥
m , Ln ] = (m − n)Lm+n +
D−2 3
(m − m)δm+n,0
12
(12.133)
⊥
⊥
を用いて，もしある状態が L⊥
1 と L2 によって消滅するならば，その状態は全ての Ln (n ≥ 1) によっ
て消滅することを示せ．
⊥
⊥
(b) Virasoro 演算子 L⊥
0 , L1 , L−1 を考える．これらに関わる 3 つの交換子を書け．これらの演算子は，
Virasoro 代数の部分代数 (部分環) を形成するか？ここでは中心拡大項は存在するか？これら 3 つ
の演算子それぞれをゼロ運動量の真空状態 |0⟩ に作用させたときの結果を計算せよ．
解答 (a)
(12.133) より，n ≥ 2 のとき
⊥
⊥
[L⊥
n , L1 ] = (n − 1)Ln+1 +
D−2 3
(m − m)δn+1,0 = (n − 1)L⊥
n+1
12
⊥
よって，ある状態 |ψ⟩ に対して，L⊥
1 |ψ⟩ = 0, L2 |ψ⟩ = 0 ならば，
1
[L⊥ , L⊥ ]|ψ⟩
n−1 n 1
1
1
⊥
=
L⊥
L⊥ L⊥ |ψ⟩
n L1 |ψ⟩ −
n−1
n−1 1 n
1
L⊥ L⊥ |ψ⟩
=−
n−1 1 n
L⊥
n+1 |ψ⟩ =
となるので帰納法により全ての n ≥ 1 で L⊥
n |ψ⟩ = 0 である．
解答 (b)
1

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