演習第11回

解析学 I
第 11 回
（担当：日野）
[11-1] (X, M, µ) を測度空間とする．A ⊂ X に対して
µ∗ (A) = inf{µ(B) | B ∈ M, A ⊂ B}
と定める．
(1) µ∗ は X 上の外測度であることを確認せよ．
(2) E を X の部分集合とする（E ∈ M とは限らない）．ME := {B ∩ E | B ∈ M} とするとき，
(E, ME , µ∗ ) は測度空間になることを示せ．
[11-2] 可測空間 (R, B(R)) 上の測度 δ0 を
{
δ0 (E) =
1 (0 ∈ E のとき)
,
0 (0 ∈
̸ E のとき)
E ∈ B(R)
で定める．
（すなわち，δ0 は 0 における Dirac 測度．
）測度空間 (R, B(R), δ0 ) の完備化 (R, M, δ¯0 )
について，M はどのような σ 加法族になるか具体的に答えよ．
[11-3] f を Rn 上の実数値 Lebesgue 可積分関数とし，ε > 0 とする．Rn 上の実数値連続関数 φ で
∫
Rn
|f (x) − φ(x)| dx ≤ ε
となるものが存在することを示せ．
（dx は n 次元 Lebesgue 測度に関する積分を表す．）
（Hint: f が定義関数 1A のときは授業で示したので OK．f が単関数の場合，次に一般の可積分関
数の場合と順に考えよ．）
[11-4] 閉区間 [0, 1] の点を 3 進展開したとき，展開に 1 が現れないようにできる点の全体を Cantor 集合
といい，ここでは C で表す．x ∈ C の 3 進展開を 0.x1 x2 x3 · · · (xn = 0 or 2) とするとき
φ(x) =
∞
∑
xn
2n+1
n=1
で関数 φ を定める．
(1) φ は C 上で単調非減少（x, y ∈ C, x < y ならば φ(x) ≤ φ(y)）であることを示せ．
(2) φ は [0, 1] のすべての値を取ることを示せ．
以上

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