演習第3回

解析学 I
第3回
（担当：日野）
[3-1] (X, M, µ) を測度空間，A1 , A2 , . . . を M の元とするとき，
)
(
µ
lim An
n→∞
≤ lim µ(An )
n→∞
であることを示せ．また，µ(X) < ∞ ならば，
(
µ
)
lim An ≥ lim µ(An )
n→∞
n→∞
であることを示せ．
[3-2] (X, M, µ) を測度空間，Y を空でない集合，φ を X から Y への写像とする．
(1) G = {E ⊂ Y | φ−1 (E) ∈ M} とするとき， G は Y 上の σ 加法族となることを示せ．
(2) E ∈ G に対して ν(E) = µ(φ−1 (E)) と定めるとき，ν は (Y, G) 上の測度であることを示せ．
（ν を µ の φ による像測度という．）
[3-3] (R, B(R)) 上の有限測度*1 µ に対して，
(
)
F (x) = µ (−∞, x] ,
x∈R
として R 上の関数 F を定める．
(1) F は R 上で非減少かつ右連続であることを示せ．
(2) x ∈ R において，µ({x}) = 0 であるための必要十分条件は F が x で連続であることを示せ．
[3-4] I = (0, 1) とし，µ を (I, B(I)) 上の有限測度とする．さらに，任意の p ∈ I に対して µ({p}) = 0
を仮定する．任意に ε > 0 を取るとき，次を示せ．
(1) 任意の p ∈ I に対して，p を含む開区間 J ⊂ I で µ(J) ≤ ε となるものが存在する．
(2) I の稠密な開部分集合 U で µ(U ) ≤ ε となるものが存在する．
[3-5]∗ （時間が余った人向け）ここでは d 次元 Lebesgue 測度，すなわち J = (a1 , b1 ]] × · · · × (ad , bd ]]
d
∏
(−∞ ≤ aj ≤ bj ≤ ∞, j = 1, . . . , d) に対して µ(J) =
(bj − aj ) であるような (Rd , B(Rd )) 上
j=1
の測度 µ の存在を認めて議論する．
A ∈ B(Rd ) を 0 < µ(A) < ∞ なる集合とし，0 ≤ α ≤ µ(A) とする．このとき B ∈ B(Rd ) で
B ⊂ A かつ µ(B) = α をみたすものが存在することを示せ．
以上
*1
すなわち，µ(R) < ∞ となる測度

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