(力学 I（’15）予想問題集) 1. 速度、加速度に関する以下の小問に答えなさい。 (1) x 軸に沿った 1 次元的な運動を考える。次の二つの場合に、速度と加速度を求めなさい： (a) x(t) = t2 + 2t (b) x(t) = A sin(ωt) (A, ω : 定数) (2) x 座標が x(t) = 2t3 − 3t2 で与えられる運動において、質点が瞬間的に静止する時刻を求めなさい。 (3) x − y 平面上で、原点を中心とし半径 r の円周上を、角速度 ω で「等速円運動」する物体を考える。物体の位置ベクトルは ~r = (x, y) = (r cos(ωt), r sin(ωt)) と表される。この時、時刻 t における物体の速度ベクトル ~v と加速度ベクトル ~a を求めなさい。また、~v と ~a は直交することを示しなさい。 2. 花火が地上より鉛直上方に打ち上げられ、最高点 P で静止した瞬間に爆発し、破片が同じ初速 v0 を持って四方八方に飛び散った。以下の小問に答えない。ただし、重力加速度を g とする。 (1) P を含むある（鉛直）面内に飛び散った破片に注目する。P を原点とし、水平方向に x 軸、鉛直上向きに z 軸をとる。x 軸に対し角度（仰角） θ で飛び出した破片の、爆発から時間 t 経過したときの位置座標 (x, z) を求めなさい。 (2) (1) の結果を用いて、爆発から時間 t 経過したときに花火の破片が描く図形はどのようなものか、図形の方程式を用いて説明しなさい。 3. 水平で滑らかな台の上を運動する、ばね定数 k のばねの先に取り付けられた質量 m の調和振動子がある。これに、自然長の位置で初速 v0 を与えた所、調和振動子は、ばねが伸びる方向に運動を始めた。その後の調和振動子の変位 x(t) を求めなさい（x 軸は、ばねの伸びる方向にとり、自然長の位置を原点とする）。 4. x 軸に沿った 1 次元的な物体（質量 m）の運動を考える。物体は、その速度 v に比例した抵抗力 −γv (γ : 正の比例定数) （のみ）を受けるものとする。以下の小問に答えなさい。 (1) 物体の運動方程式を v についての（一階の）微分方程式の形で書きなさい。 (2) (1) の微分方程式を解いて v(t) を求めなさい。ただし t = 0 における初速度を v0 とする。また、十分時間が経った時 (t → ∞) の速度を求めなさい。 5. 位置エネルギー、エネルギー保存則に関する以下の小問に答えなさい。 (1) 質量 m のロケットが、地球から受ける万有引力により持つ、地球の中心からの距離が r の位置における位置エネルギー V (r) を求めなさい。ただし、重力定数を G、地球の質量を ME とする。位置エネルギーの基準点は無限遠点にとると良い。 (2) x 軸上の一次元的な運動を考える。物体の持つ位置エネルギーが V (x) = −ax2 + bx4 (a, b : 正) である時、この物体に働く力がゼロとなる点の x 座標を求めなさい。また、力学的エネルギー E がどの様な条件を満たす時に、この物体は運動可能か説明しなさい。 6. 二つの質点の間に、作用・反作用の法則に従う内力のみが働く時には、運動量保存則（二つの質点系の全運動量が時間的に不変）が成り立つことを説明しなさい。