予想問題 - lab.twcu.ac.jp

(力学 I（’16）予想問題集)
1. 速度、加速度に関する以下の小問に答えなさい。
(1) x(t) = A sin(ωt) (A, ω : 定数) で与えられる、x 軸に沿った 1 次元
的な運動を考える。この運動の速度と加速度を求めなさい。
(2) x 座標が x(t) = t3 − 3t2 で与えられる運動において、時刻 t = 0 から
t = 3 の間に質点はどれだけの距離を運動したか求めなさい。
2. 花火が地上より鉛直上方に打ち上げられ、最高点 P で静止した瞬間に
爆発し、破片が同じ初速 v0 を持って四方八方に飛び散った。以下の小問
に答えない。ただし、重力加速度を g とする。
(1) P を含むある（鉛直）面内に飛び散った破片に注目する。P を原点と
し、水平方向に x 軸、鉛直上向きに z 軸をとる。x 軸に対し角度（仰角）
θ で飛び出した破片の、爆発から時間 t 経過したときの位置座標 (x, z) を
求めなさい。
(2) (1) の結果を用いて、爆発から時間 t 経過したときに花火の破片が描
く図形はどのようなものか、図形の方程式を用いて説明しなさい。
3. x 軸に沿った 1 次元的な物体（質量 m）の運動を考える。物体は、そ
の速度 v に比例した抵抗力 −γv (γ : 正の比例定数) （のみ）を受けるも
のとする。以下の小問に答えなさい。
(1) 物体の運動方程式を物体の座標 x(t) についての（二階の）微分方程
式の形で書きなさい。
(2) x(t) = eλt (λ : 定数) と置いて、(1) の微分方程式の二つの特解を求
めなさい。またこれから一般解を構成し、次に初期条件 x(0) = 0, v(0) =
v0 (v0 : 初速度) を課して、x(t) を求めなさい。また、十分時間が経った
時 (t → ∞) の x 座標を求めなさい。
4. 加速度系から見た時の慣性力に関する以下の小問に答えなさい。ただ
し、重力加速度の大きさを g とする。
(1) 小さなエレベーターが鉛直上方に、大きさ a の加速度で上昇してい
る。エレベーター内の観測者から見た時、重力加速度の大きさは（慣性
力の効果で）どの様に変化した様に見えるか述べなさい。また、この時、
エレベータ―の天井からつるされた長さ l の振り子の周期を求めなさい。
(2) 水平な直線のレール上を電車が進行方向に加速していて、加速度の大
きさは a であるとする。この時、電車のつり革が鉛直下方からの角度 θ
だけ傾くとすると、θ はどのように与えられるか答えなさい。また、電車
の天井からつるされた長さ l の振り子があるとする。この振り子の周期
を求めなさい。
5. 位置エネルギー、エネルギー保存則に関する以下の小問に答えなさい。
(1) x 軸上を運動する物体の持つ位置エネルギーが V (x) = ax4 −bx2 (a, b :
正の定数) で与えられるとする。物体に働く力がゼロとなる場所の x 座標
を求めなさい。また、物体の持つ力学的エネルギーが E (E > 0) である
時、この物体が運動する x 軸上の領域を求めなさい。
(2) 質量 m のロケットが、地球から受ける万有引力により持つ、地球の
中心からの距離が r の位置における位置エネルギーを求めなさい。ただ
し、重力定数を G、地球の質量を ME とし、位置エネルギーの基準点を
無限遠点にとる。
(3) (2) の結果を用いて、地表で打ち上げられたロケットが宇宙の果てま
で到達出来るために必要な最小の初速度（脱出速度）を、G、ME および
地球の半径 RE を用いて表しなさい。
6. 水平な地上面の一点 O から鉛直上方に打ち上げられた質量 3m の物体
が、地上からの高さ h の点で静止した瞬間に爆発し、質量 2m の破片 A
と質量 m の破片 B に分裂して、どちらも水平方向に飛び出した。
(1) A, B の重心は、爆発後どの様な運動をするか、理由とともに述べな
さい。
(2) 爆発後、破片 A が水変な地上面の、O から距離 l の位置に落下した。
この時、もう一つの破片 B は地上面のどの位置に落下しているはずか、
理由とともに述べなさい。

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