ベクトル解析課題 No.11 (2015.7.14)

ベクトル解析
課題 No.11
(2015.7.14)
11.1 次の問いに答えなさい．
(1) 3 次元空間におけるスカラー場 f (x, y, z) = x2 y + yz 2 の勾配 ∇f を求めなさい．
(2) 3 次元ベクトル場 V (x, y, z) = (xz, xy, zy) に対して発散 divV (= ∇ · V ) を求めなさい.
(3) 3 次元ベクトル場 V (x, y, z) = (yz, −zx, xy) に対して回転 rotV (= ∇ × V ) を計算しな
さい.
(4) 3 次元ベクトル場 V = (u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z)) に対して divrotV (= ∇·(∇×V )) =
0 を示しなさい．ただし，u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z) は C 2 級（２階偏微分可能で２階
までのすべての偏導関数は連続）とする．
11.2 半球形領域 D = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 ≤ 1, z ≤ 0} とベクトル場 V (x, y, z) = (x, y, z) に対し
て，ガウスの発散定理を使って
∫
∫
V · dS (=
V · ndS)
∂D
∂D
を計算しなさい．ただし，n は外向き単位法線ベクトルである．
11.3 以下のベクトル場が保存場かどうか判定しなさい．
(1) V (x, y, z) = (yz, zx, xy),
(2) V (x, y, z) = (z − y, x − z, y − x),
11.4 ベクトル場 V (x, y, z) = (2xz + y 2 , 2xy + z 2 , x2 + 2yz) と始点 P = (1, 1, 1) と終点 Q = (2, 1, −1)
を結ぶ曲線 (経路) C : x(t) (a ≤ t ≤ b) を考える．
(1) V が保存場になっていることを示し，そのポテンシャル f (x, y, z) を求めなさい．
(2) 線積分
∫
V · dx
C
の値を求めなさい．

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