機械力学課題第１０回１．図１のように，半径 R ，質量 M の球が，角度 α の斜面上の点 O から初速度 0 で滑ることなく転がり，高さ h だけ下がった点 P に到達した．静止座標系 ∑ 0 を図のように設置し，また，球の重心 G に固定された座標系を ∑1 とする． ∑ 0 からみた G の座標を ( xG , y G ) ， ξ 軸と x 軸のなす角を θ とする．また，重力加速度を g とする．点 P における球の斜面に沿う速度を，以下の手順で求めなさい． (1) 点 O における球の力学的エネルギー E O を求めなさい．ただし，重力によるポテンシャルエネルギーの基準点は，点 P の位置にとるものとする． (2) 点 P における球の力学的エネルギー E P を求めなさい．ただし，点 P での球の位置と回転角を， ( xG , y G ) ， θ とせよ． (3) 球が滑ることなく転がるとき，球の重心位置と回転角の間に成立する関係式を示せ． (4) 点 P における球の斜面に沿う速度 x& G を求めなさい．２．図２のような，ばね定数 k のばねのポテンシャルエネルギーを求めたい．ばねが自然長にあるときの質点の位置を原点 O とする静止座標系 Σ 0 を設定し，点 O からみた質点の変位を x とする．以下の問いに答えなさい． (1) ばねの位置 r ，ならびに，その微小変位 dr の Σ 0 での成分表示を求めなさい． (2) 質点がバネから受ける力 F の Σ 0 での成分表示を求めなさい． (3) ばねのポテンシャルエネルギー U を定義に従い計算しなさい．ただし，ポテンシャルエネルギーの基準点は，ばねの自然長の位置にとるものとする． y x M,R ∑0 O G ( xG , yG ) η ∑1 θ ξ P F k F h r Mg O i0 α 図１図２ x