線形代数学Ⅱ 演習問題 4
2014 年度後期
工学部 1 年
担当: 原 隆 (未来科学部数学系列・助教)
※レポートを提出したい人は、以下の注意点を守って提出して下さい。
(ⅰ) 必ず分かるところに学籍番号、学科、氏名を書いて下さい。
(ⅱ) A4 の紙を用いて、複数枚になる場合はホチキスや針無しステープラーで綴じて下さい。
(ⅲ) 提出期限は 12/12 (金) の講義時 とします。
問題 4-1. (数ベクトルの 1 次独立性)
4 次元数ベクトル
3
−1
a1 = ,
2
3
−5
0
a2 = ,
−3
8
1
−1
a3 = ,
0
−3
1
2
a4 = ,
3
−6
0
0
a5 =
1
4
を考える。以下の数ベクトルの組について、それぞれ線形独立性を判定しなさい。線形従属である場
合には、非自明な 1 次関係式を 1 つ求めなさい。
(1) a1 , a2 , a3
(3) a1 , a2 , a3 , a5
(2) a1 , a3 , a4
(4) a2 , a3 , a4 , a5
問題 4-2. (部分ベクトル空間)
以下の集合が R3 の部分ベクトル空間であるかどうかを判定しなさい。部分ベクトル空間である場
合にはその基底を求め、部分ベクトル空間でない場合にはその理由を述べなさい。
(1)
(3)
x
3
2
2
2
y ∈ R x +y +z = 1
z
x
3
x
y ∈ R y = e , z = 0
z
(2)
(4)
1
x
3
y ∈ R
z
3x − 4y + z = 0,
−5x − 2y + 7z = 0
x
3
y ∈ R
z
x = 3s − t,
y = 4t,
(s, t ∈ R)
z = −s + 2t
問題 4-3. (基底の変換と線形変換の行列表示)
R3 上の基底
1
B 0 = b1 = 0 ,
−1
−2
3
に関する行列表示が A0 = −2
3
−2
2
−2
b2 = −1 ,
2
−3
3
−2
2
b3 = 5
−3
で与えられるような線形変換 f : R3 → R3 を考える。
B0
以下の基底 B1 , B2 について、
(i) 基底 B0 から基底 Bi への基底の変換行列 Pi
(ii) 基底 Bi に関する線形変換 f の行列表示 Ai
をそれぞれ求めなさい。
1
0
0
(1) B1 = e1 = 0 , e2 = 1 , e3 = 0
1
0
0
1
10
−5
(2) B2 = p1 = 1 , p2 = 13 , p3 = −6
−1
−12
6
問題 4-4. (平面ベクトルの鏡映変換)∗
a を実数とする。xy 平面上の直線 ℓ : y = ax に関する折り返しによって定義される R2 上の線形
変換 fℓ : R2 → R2 を、直線 ℓ に関する 鏡映変換 と呼ぶ。鏡映変換 fℓ について、以下の設問に答
えなさい。
1
π
(1) ベクトル a = を原点を中心に
だけ回転して得られる平面ベクトル b の成分表示を
2
a
求めなさい。
(2) ベクトルの組 a, b が R2 の基底をなすことを証明しなさい。
(3) fℓ (a), fℓ (b) を求めなさい。また、この結果を用いて、基底 { a, b } に関する fℓ の行列表示
を求めなさい。
1
0
(4) 基底 { a, b } から R2 の標準基底 e1 = , e2 = への基底の変換行列を求め
0
1
なさい。また、この結果を用いて鏡映変換 fℓ に付随する行列 Aℓ (即ち標準基底 { e1 , e2 } に
関する fℓ の行列表示) を求めなさい。
[ヒント]
ベクトル a は 直線 ℓ に乗っている ベクトルです。その点さえおさえれば、(3) は図を描
けば簡単に分かる筈。
2
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