線形代数学Ⅱ 演習問題 4 2014 年度後期工学部 1 年担当: 原隆 (未来科学部数学系列・助教) ※レポートを提出したい人は、以下の注意点を守って提出して下さい。 (ⅰ) 必ず分かるところに学籍番号、学科、氏名を書いて下さい。 (ⅱ) A4 の紙を用いて、複数枚になる場合はホチキスや針無しステープラーで綴じて下さい。 (ⅲ) 提出期限は 12/12 (金) の講義時とします。問題 4-1. (数ベクトルの 1 次独立性) 4 次元数ベクトル   3 −1   a1 =   , 2 3  −5 0   a2 =   , −3 8    1 −1   a3 =   , 0 −3  1 2   a4 =   , 3 −6    0 0   a5 =   1 4 を考える。以下の数ベクトルの組について、それぞれ線形独立性を判定しなさい。線形従属である場合には、非自明な 1 次関係式を 1 つ求めなさい。 (1) a1 , a2 , a3 (3) a1 , a2 , a3 , a5 (2) a1 , a3 , a4 (4) a2 , a3 , a4 , a5 問題 4-2. (部分ベクトル空間) 以下の集合が R3 の部分ベクトル空間であるかどうかを判定しなさい。部分ベクトル空間である場合にはその基底を求め、部分ベクトル空間でない場合にはその理由を述べなさい。 (1) (3)       x    3 2 2 2 y ∈ R x +y +z = 1     z       x    3 x y ∈ R y = e , z = 0     z (2) (4) 1     x   3 y ∈ R   z   3x − 4y + z = 0,  −5x − 2y + 7z = 0       x   3 y ∈ R   z   x = 3s − t,  y = 4t, (s, t ∈ R)   z = −s + 2t 問題 4-3. (基底の変換と線形変換の行列表示) R3 上の基底      1   B 0 = b1 =  0  ,   −1     −2 3 に関する行列表示が A0 = −2 3 −2 2   −2   b2 = −1 , 2  −3   3  −2   2    b3 =  5    −3  で与えられるような線形変換 f : R3 → R3 を考える。 B0 以下の基底 B1 , B2 について、 (i) 基底 B0 から基底 Bi への基底の変換行列 Pi (ii) 基底 Bi に関する線形変換 f の行列表示 Ai をそれぞれ求めなさい。          1 0 0         (1) B1 = e1 = 0 , e2 = 1 , e3 = 0     1 0 0         1 10 −5          (2) B2 = p1 =  1  , p2 =  13  , p3 = −6     −1 −12 6 問題 4-4. (平面ベクトルの鏡映変換)∗ a を実数とする。xy 平面上の直線 ℓ : y = ax に関する折り返しによって定義される R2 上の線形変換 fℓ : R2 → R2 を、直線 ℓ に関する鏡映変換と呼ぶ。鏡映変換 fℓ について、以下の設問に答えなさい。   1 π (1) ベクトル a =   を原点を中心にだけ回転して得られる平面ベクトル b の成分表示を 2 a 求めなさい。 (2) ベクトルの組 a, b が R2 の基底をなすことを証明しなさい。 (3) fℓ (a), fℓ (b) を求めなさい。また、この結果を用いて、基底 { a, b } に関する fℓ の行列表示を求めなさい。     1 0  (4) 基底 { a, b } から R2 の標準基底 e1 =   , e2 =   への基底の変換行列を求め  0 1  なさい。また、この結果を用いて鏡映変換 fℓ に付随する行列 Aℓ (即ち標準基底 { e1 , e2 } に   関する fℓ の行列表示) を求めなさい。 [ヒント] ベクトル a は直線 ℓ に乗っているベクトルです。その点さえおさえれば、(3) は図を描けば簡単に分かる筈。 2