数学 B 第 4 回
担当: 田中 冬彦1
複素積分
4
4.1
曲線の定義
有界閉区間 a ≤ t ≤ b, −∞ < a < b < ∞ から複素平面への連続写像
ϕ : t ∈ [a, b] 7→ ϕ(t) ∈ C
を曲線と呼んだ (2.2 節). 複素関数 f の積分 (複素積分) は曲線を用いて定義される.
曲線の定義
また, ϕ(a) = ϕ(b) の時, 閉曲線という. ϕ(a), ϕ(b) はそれぞれ, 曲線の始点, 終点ともい
う. ϕ が一対一写像の時, 単純曲線（ジョルダン曲線）という. 閉曲線の場合, 終点を
除いて一対一写像の時, 単純閉曲線 (ジョルダン閉曲線) とよぶことにする. a < t < b
で Reϕ(t), Imϕ(t) が連続微分可能かつ, (Reϕ′ (t))2 + (Imϕ′ (t))2 ̸= 0 の時, なめらかな
曲線と呼ぶことにする.
問 96 (定義の確認). 次の曲線の軌跡を図示しなさい. また, 閉曲線はどれか.
(a) ϕ1 (t) = (3 − i)t + 1, 0 ≤ t ≤ 1.
(b) ϕ2 (t) = eit , 0 ≤ t ≤ π/2.
(c) ϕ3 (t) = i + 2e−it , 0 ≤ t ≤ 2π.
曲線の演算
曲線 C, ϕ(t), a ≤ t ≤ b に対して, 以下を逆向きの曲線とよび C −1 もしくは −C であ
らわす.
ψ(t) := ϕ(b + a − t), a ≤ t ≤ b
また, 二つの曲線 C1 , C2 が ϕj (t), aj ≤ t ≤ bj , j = 1, 2 で定義されているとき, t につ
いて連続になるようにつなげた曲線 C2 C1 (C1 + C2 ともかく.) を以下で定義する.
ψ(t) :=
{
ϕ1 (t),
a1 ≤ t ≤ b1 ,
ϕ2 (t − b1 + a2 ),
b1 ≤ t ≤ b2 − a2 + b1 .
(ϕ1 (b1 ) ̸= ϕ2 (a2 ) の場合は不連続になる.) 曲線 C が区分的になめらかとは, なめらか
な曲線 C1 , . . . , Cr の合成で C = Cr Cr−1 . . . C1 とかけることをいう.
1
たなか ふゆひこ, 基礎工学部 J 棟 J612 号室, [email protected]
1
問 97 (定義の確認). 問 96 の各曲線について, 逆向きの曲線を定義し, その軌跡を図示し
なさい.
問 98 (定義の確認). 以下の二つの曲線を合成した曲線を定義し, その軌跡を図示しなさい.
ψ1 (t) = t, −1 ≤ t ≤ 1,
ψ2 (t) = e2πit , 0 ≤ t ≤ 1.
問 99 (曲線の合成). 曲線 C1 , C2 を ϕ1 (t) = eit , 0 ≤ t ≤ π, ϕ2 (t) = 2t − 1, 0 ≤ t ≤ 1 と
する.
(a) 曲線 C1−1 を求めなさい.
(b) 曲線 C2 C1 を求めなさい.
(c) 曲線 C1−1 C2−1 を求めなさい.
曲線 C, ϕ(t) = x(t) + iy(t), a ≤ t ≤ b について
√
)2 (
)2
∫ b (
dx(t)
dy(t)
L(C) :=
+
dt
dt
dt
a
を曲線 C の長さという. 以下では L(C) < ∞ となる曲線のみを扱う ことにする.
問 100 (L(C) = ∞ の例). 以下で定義された曲線の軌跡を図示しなさい.
z(t) = t + i sin(π/t), 0 < t ≤ 1,
z(0) = 0.
(有界領域内で, 曲線の長さ L(C) = ∞ のジョルダン曲線の例. フラクタル曲線なども同
様に L(C) = ∞ になりえる.)
問 101 (曲線の長さとパラメータの変換). 以下の問に答えなさい.
(a) 問 99 の曲線 C1 について L(C1 ) = π を示しなさい.
√
2
(b) 曲線 C3 を ϕ3 (τ ) = eiτ , 0 ≤ τ ≤ π で定義するとき, L(C3 ) を求めなさい.
(c) 閉区間 [a, b] で狭義単調増加な連続関数 g(t) を考える. このとき, さらに g が (a, b) 微
分可能で導関数 g ′ (t) が連続ならば τ := g(t) によって新たにパラメータをとりなお
した曲線 C̃ の長さは元の曲線の長さと一致すること, つまり L(C) = L(C̃) を示しな
さい.
∫
曲線 C の長さについて, L(C) = C |dz| のようにパラメータをあらわに出さずに書くこ
ともある.
2
複素積分の定義
4.2
複素積分には定義の仕方が幾つかあるが, ここでは以下のように定義する.
複素積分の定義
複素関数 f (z) の積分は曲線 C に沿って定義される. 領域 D 上の連続な複素関数 f (z)
についてまず C を z : [a, b] → D で定義されたなめらかな曲線として, C に沿った f
の積分を
∫
∫ b
dz(t)
f dz :=
f (z(t))
dt
dt
C
a
と定義する. ここで右辺は実部と虚部に分けてそれぞれ計算してよい.
区分的になめらかな曲線の場合は C = Cr . . . C1 となめらかな曲線の合成で書き下して
∫
f (z)dz :=
C
r ∫
∑
j=1
f (z)dz
Cj
と定義する. C は積分経路という.
問 102. 始点を z1 , 終点を z2 とする直線 C を考える 2 .
(a) パラメータを t, 0 ≤ t ≤ 1 とし直線 C を z(t) でパラメータ表示しなさい.
∫
zdz を計算せよ.
(b)
C
∫
z̄dz を計算せよ.
(c)
C
問 103. 直線 C, z(t) = t, 0 ≤ t ≤ 1 について以下の積分を求めなさい.
(a) f1 (z) = 1 + z.
(b) f2 (z) = z 2 .
(c) f3 (z) = iz.
実積分の性質と上の定義から以下がただちにわかる.
2
線分や半直線のように端点がある場合も直線と呼ぶことにする
3
複素積分の定義
(i) 複素線型. つまり, 任意の複素定数 α, β ∈ C, 連続な複素関数 f (z), g(z) について
∫
∫
∫
(αf + βg)dz = α f dz + β
gdz
C
C
C
(ii) 区分的になめらかな曲線 C について
∫
∫
f dz = − f dz
C −1
C
(iii) 区分的になめらかな曲線 C1 , C2 について
∫
∫
f dz =
∫
f dz +
C2 C1
C2
∫
f dz =
C1
f dz
C1 C2
(iv) 区分的になめらかな曲線 C について
∫
∫
f dz ≤
|f ||dz|,
C
C
dz(t) dt のこと.
ここで |dz| = dt 線積分の性質から, 狭義単調増加かつ微分可能な関数を用いて τ = g(t) のようにパラ
メータを t から τ に取り直しても変わらない.
問 104. a > 0, b > 0 について 0, a, a + ib, ib を結んでできる長方形 T を考える. 0 から出
発し反時計まわりに T に沿って一周する閉曲線を C とする.
(a) 0 ≤ t ≤ 4 として, t = 0, 1, 2, 3, 4 で長方形の各頂点を通るように C : z(t) を定めな
さい.
∫
(b)
zdz を求めなさい. (4 つに分けて積分を計算する.)
C
∫
z̄dz を求めなさい. (4 つに分けて積分を計算する.)
(c)
C
2
問 105 (パラメータの変換). 曲線 C1 : ϕ1 (t) = eit , 0 ≤ t ≤ π, C2 : ϕ2 (τ ) = eiτ , 0 ≤
√
τ ≤ π に沿って f (z) = z 2 を積分する. 以下の問に答えなさい.
(a) 曲線 C1 に沿って f (z) を積分しなさい.
(b) 曲線 C2 に沿って f (z) を積分しなさい. (a) で求めた値と一致するか.
問 106. 複素関数 f (z) について以下を示しなさい
4
(a) 複素関数 f (z) が連続の時, |f (z)| も連続. (もちろん逆は成り立たない.)
(b) K ⊂ C が有界閉集合の時, |f (z)| が連続ならば,
sup |f (z)| = |f (z∗ )|
z∈K
を満たす z∗ ∈ K が必ず存在する. (最大値の存在.) したがって, 両辺共に有限の値に
なる. このことを用いて, L(C) < ∞ の時, 連続関数の複素積分は常に有限の値になる
こと, つまり,
∫
f dz < ∞
C
を示しなさい.
問 107. 中心 0, 半径 r > 0 の円周の上半分を考える. 始点を∫ r, 終点を −r とするなめらか
な単純曲線 C を適当に設定し, 以下の複素関数 f について
f dz を計算せよ.
C
(a) f (z) = z̄
(b) f (z) = 1/z
(c) f (z) = Rez
問 108 (原始関数). 領域 D 上で正則な関数 F (z) についてその複素微分 F ′ (z) = f (z), ∀z ∈
D の時, F は f の原始関数という.
f が原始関数 F を持つ時, D 内の任意の二点 z, z0 を結ぶ曲線 C について
∫
f (z)dz = F (z) − F (z0 )
C
が成立. したがってこの場合は D 内の経路によらず, 始点と終点のみで積分の値が決まる.
(ただし, 一般に左辺の積分が存在しても原始関数をもつとは限らない.)
(a) z ̸= 0 の時,
d 1
1
=
−m
, m = 1, 2, . . . を示しなさい.
dz z m
z m+1
(b) z m , (m は −1 以外の整数) の原始関数を求めなさい.
(c) a ̸= 0 のとき, eaz の原始関数を求めなさい.
(d) sin z, cos z の原始関数を求めなさい.
問 109 (原始関数が存在しない例). 複素関数 f (z) = z̄ を z0 から z まで結ぶ曲線 C によっ
て積分することを考える.
∫
FC (z; z0 ) :=
f (w)dw
C
と定義する.
5
(a) 曲線 C として直線 z(t) := z0 + (z − z0 )t, 0 ≤ t ≤ 1 をとるとき
1
FC (z; z0 ) = (z̄ + z¯0 )(z − z0 )
2
を示しなさい.
(b) z = x + iy とする. 曲線 D を z(t) = z0 + (x − x0 )t, (0 ≤ t ≤ 1), z(s) = z0 + (x − x0 ) +
i(y − y0 )s, (0 ≤ s ≤ 1) とするとき
FD (z; z0 ) =
}
1{
(z − z0 )2 + 2(z − z0 )(z̄ + z̄0 ) − (z̄ − z̄0 )2
4
を示しなさい.
問 110 (積分と極限の順序交換). 領域 D 上の連続な複素関数列 f1 , f2 , . . . が一様収束して
いるとする. この時, 領域 D 内の任意の経路 C (L(C) < ∞) について
∫
∫ (
)
lim
fn dz =
lim fn dz
n→∞
C
C
n→∞
を示しなさい.
上の結果は D 上広義一様収束という弱い条件でも成立する.
1
nz 2 − 1
(n ≥ 2) を考える. 閉曲線として C : z(t) := eit , 0 ≤ t ≤ 2π を考える. 以下の問に答えな
さい.
問 111 (積分と極限の順序交換). 領域 D := {z ∈ C : |z| > 1} 上で関数列 fn (z) =
(a) fn はある複素関数 f に D 上一様収束する. f を求めなさい.
∫
dz
(b) lim
を求めなさい.
n→∞ C nz 2 − 1
∫
dz
(後で習うコーシーの積分定理を用いると
を直接計算で求めることもできる.)
2
C nz − 1
4.3
コーシーの積分定理
問 112. 次の二つの曲線 C1 , C2 を考える. C1 : z(t) := eit , 0 ≤ t ≤ π,
C2 : z(t) :=
−it
e , 0 ≤ t ≤ π. 各曲線 C1 , C2 に沿って以下の複素積分を求めなさい. また二つの曲線で
求めた値は一致するか述べなさい.
∫
1
(a)
dz.
z
∫
(b)
z 2 dz.
6
問 113. 次の曲線 C : z(t) := Reit , 0 ≤ t ≤ 2π, ただし R は正の定数とする. 以下の複素
積分を求めなさい.
∫
1
(a)
dz.
2
C |z|
∫
1
|dz|.
(b)
2
C |z|
グリーンの公式とコーシーの積分定理
D ⊂ C を有界な領域 (連結な開集合) とし, その境界 ∂D は区分的になめらかな単純
閉曲線とする.（向きは反時計回り.）f (z) = u(x, y) + iv(x, y) とし, u, v は D ∪ ∂D を
含む領域で C 1 級とする. この時
∫∫
∫
∂f
f dz = 2i
dxdy
∂D
D ∂ z̄
が成立. (グリーンの公式). さらに, f を D ∪ ∂D を含む領域で正則な関数とすると
∫
f dz = 0
∂D
が成立. (コーシーの積分定理).
問 114. グリーンの公式を用いてコーシーの積分定理を示しなさい.
⋆———————————————————————
補足 (グリーンの公式の証明)
a, b を任意の正定数とし, 0, a, a + ib, ib を順に結ぶ長方形を考
える. 長方形内部を D であらわし, 周を ∂D とする. 4 つの曲線, C1 : z(t) = t, 0 ≤ t ≤ a,
C2 : z(t) = a + ti, 0 ≤ t ≤ b, C3 : z(t) = (a − t) + ib, 0 ≤ t ≤ a, C4 : z(t) = i(b − t), 0 ≤ t ≤ b, を
つなげた曲線が長方形の周をたどる曲線なので,
(∫
∫
∫
∫
∫ )
f dz =
+
+
+
f dz.
∂D
ここで,
∫
∫
C2
∫
a
f dz =
C1
C1
∫
f dz = −
f (t + i0)dt,
0
C3
C3
a
C4
∫
f (a − t + ib)dt = −
0
0
により
(∫
∫ )
+
C1
∫
f dz =
C3
0
a
f (t + i0) − f (t + ib)dt
}
∂f (t + iy)
dy dt
=
−
∂y
0
0
∫∫
∂f (x + iy)
=−
dxdy.
∂y
D
∫
a{
7
∫
b
a
f (t′ + ib)dt′ ,
(∫
同様にして
∫ )
∂f (x + iy)
∂
1 ∂
i ∂
dxdy. ここで,
=
+
に注意すれば,
∂x
∂
z̄
2
∂x
2
∂y
C4
D
∫∫
∫∫
∫
∂f (x + iy)
∂f (x + iy)
f dz = −
dxdy +
i
dxdy
∂y
∂x
∂D
D
D
∫∫
∂f
= 2i
dxdy.
D ∂ z̄
+
C2
∫∫
f dz =
i
一般の領域の場合も長方形で内側から近似していけばよい.
積分路変形の原理
始点と終点が同じ 2 つの区分的になめらかな曲線 C1 , C2 について, C2−1 C1 が単純閉曲
線となり, C2−1 C1 とその内部を含む領域で f が正則の時, 二つの曲線に関する複素積
分は一致する, つまり,
∫
∫
f (z)dz =
C1
f (z)dz
C2
が成り立つ. したがって, このような場合は積分の値は始点と終点のみで決まり, 計算
しやすい曲線をとればよいことがわかる.
今後, 上の原理から積分路を円周にとることが多くなる. 半径 R > 0, 中心 α ∈ C の円
周に沿った複素積分をしばしば
I
f (z)dz
|z−α|=R
のように書く.
問 115 (円周のパラメータ表示). 半径 R > 0, 中心 α ∈ C の円周を表す単純閉曲線 z(t) を
与えなさい. ただし, 0 ≤ t ≤ 1, z(0) = z(1) = α + R とし向きは反時計回りとする.
問 116. 半径 ϵ, R の二つの円周 CR : z(t) := Reit , 0 ≤ t ≤ 2π, Cϵ : z(t) := ϵeit , 0 ≤ t ≤ 2π
を考える. ただし, R > ϵ > 0 とする. CR と Cϵ ではさまれる円環上の領域を Dϵ,R とかく.
(a) 円環上の領域を Dϵ,R を図示しなさい.
(b) 二つの円周 CR , Cϵ と領域 Dϵ,R を含む領域で正則な関数 f (z) を考えるとき,
∫
f dz を示しなさい.
CR
H
H
1
1
(c) |z|=1 z−2
dz, |z|=3 z−2
dz を計算しなさい. 両者は一致するか.
問 117.
∫
Cϵ
f dz =
I
1
dz, m = 1, 2, . . . ,. た
m
C (z − a)
1
だし, (z−a)
m , m = 1, 2, . . . は z = a を除いて定義され正則である.
半径 1, 中心 a の円周上で以下の複素積分を求めなさい.
問 118. 複素平面上で原点, 2,I2 + 2i, 2i を結んでできる正方形を考える. この正方形の
1
周を C であらわす. 複素積分
dz を C にそって求めなさい. 必要に応じて,
C z − (1 + i)
(arctan x)′ = x21+1 を用いてよい.
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