数学Ⅰ

解答上の注意
1. 解答は解答用紙に記入し、計算式の欄には計算過程を記述しなさい。
2. 分数形で解答する場合、それ以上約分できない形で答えなさい。
3
6
例えば、
と答えるところを、
のように答えてはいけません。
4
8
3. 根号を含む形で解答する場合、根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい。
√
√
例えば、4 2 と答えるところを、2 8 のように答えてはいけません。
また、分数は分母を有理化して答えなさい。
I 以下の問いに答えなさい。
問1
2
2
(x + y) (x − y)
x2 + y 2
2
を展開しなさい。
4 − x2 + 2xy − y 2 を因数分解しなさい。
√ √
問 3 2 − 3 − 3 − 2 を計算しなさい。
問2
問4
x2 + 2 (m − 1) x + m + 11 = 0 が異なる 2 つの解をもつような定数 m の値の範囲
を求めなさい。
問5
次の
の中に、
「必要」
、
「十分」
、
「必要十分」のうち、適するものを入れなさ
い。ただし、どれも適さない場合は「×」を入れなさい。
(1) x2 + 2 = 3x は x = 1 であるための
条件である。
(2) x = 1 は x2 + 1 = 2x であるための
条件である。
II 以下の問いに答えなさい。
問1
2 次方程式 x2 + ax + 4 = 0 の 1 つの解が 1 と 2 の間に、他の解が 2 と 3 の間に
あるとき、定数 a の値の範囲を求めなさい。
問2
0◦ θ 180◦ のとき、次の不等式を満たす θ の値の範囲を求めなさい。
√
√
3
3
1
(1) sin θ (2) −
< cos θ (3) tan θ 1
2
2
2
III 円に内接する四角形 ABCD において、AB =
√
√
√
√
2 , BC = 2 2 , CD = 3 , DA = 2 3
とするとき、以下の問いに答えなさい。
問1
cos ∠B の値を求めなさい。
問2
外接円の半径 R を求めなさい。
問3
四角形 ABCD の面積 S を求めなさい。
IV 1 辺の長さが 2 の正四面体 ABCD において、辺 AB の中点を M とするとき、以下の問い
に答えなさい。
問1
cos ∠CMD の値を求めなさい。
問2
CMD の面積 S を求めなさい。
問3
正四面体 ABCD の高さ DN を求めなさい。
問4
正四面体 ABCD の体積 V を求めなさい。
計算式
余弦定理より
AC2 = AB2 + BC2 − 2 AB · BC cos ∠B
x8 − 2x4 y 4 + y 8
0
= 10 − 8 cos ∠B
(2 + x − y) (2 − x + y)
m < −2 ,
· · · (1)
AC2 = CD2 + DA2 − 2 CD · DA cos (180◦ − ∠B)
= CD2 + DA2 + 2 CD · DA cos ∠B
m>5
= 15 + 12 cos ∠B
· · · (2)
(1)(2) より
必要
必要十分
10 − 8 cos ∠B = 15 + 12 cos ∠B
1
cos ∠B = −
4
cos ∠B = −
答え
1
4
問
2
計算式
三角比の相互関係より
sin ∠B = 1 − cos2 ∠B =
13
−
< a < −4
3
√
15
4
問 1 の (1) より
◦
◦
60 θ 120
◦
AC =
◦
30 θ < 120
◦
◦
45 θ < 90
√
√
10 − 8 cos ∠B = 2 3
正弦定理より
√
1
AC
4 5
R=
·
=
2 sin ∠B
5
√
4 5
R=
5
答え
計算式
1
CM · DM sin ∠CMD
2
3
1 − cos2 ∠CMD
=
2
√
= 2
S=
計算式
ABC, ACD の面積をそれぞれ S1 , S2 と置くと
√
15
1
S1 =
AB · BC sin ∠B =
2
2
√
1
3 15
◦
S2 =
CD · DA sin (180 − ∠B) =
2
4
S=
答え
√
2
問
3
計算式
S = S1 + S2
√
5 15
=
4
問 2 で求めた CMD の面積 S を DN を使って表すと
答え
√
1
CM · DN = 2
2 √
2 6
DN =
3
S=
√
5 15
S=
4
√
2 6
DN =
3
小計
答え
IV
問
4
問
1
計算式
計算式
1
1
V =
AB · CM DN
3
2
√
2 2
=
3
CM = DM
= AD sin ∠DAM
= 2 sin 60◦
√
= 3
√
2 2
V =
3
余弦定理より
答え
CM2 + DM2 − CD2
1
cos ∠CMD =
=
2 CM · DM
3
答え
1
cos ∠CMD =
3

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