解答上の注意 1. 解答は解答用紙に記入し、計算式 の欄には計算過程を記述しなさい。 2. 分数形で解答する場合、それ以上約分できない形で答えなさい。 3 6 例えば、 と答えるところを、 のように答えてはいけません。 4 8 3. 根号を含む形で解答する場合、根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい。 √ √ 例えば、4 2 と答えるところを、2 8 のように答えてはいけません。 また、分数は分母を有理化して答えなさい。 I 以下の問いに答えなさい。 問1 2 2 (x + y) (x − y) x2 + y 2 2 を展開しなさい。 4 − x2 + 2xy − y 2 を因数分解しなさい。 √ √ 問 3 2 − 3 − 3 − 2 を計算しなさい。 問2 問4 x2 + 2 (m − 1) x + m + 11 = 0 が異なる 2 つの解をもつような定数 m の値の範囲 を求めなさい。 問5 次の の中に、 「必要」 、 「十分」 、 「必要十分」のうち、適するものを入れなさ い。ただし、どれも適さない場合は「×」を入れなさい。 (1) x2 + 2 = 3x は x = 1 であるための 条件である。 (2) x = 1 は x2 + 1 = 2x であるための 条件である。 II 以下の問いに答えなさい。 問1 2 次方程式 x2 + ax + 4 = 0 の 1 つの解が 1 と 2 の間に、他の解が 2 と 3 の間に あるとき、定数 a の値の範囲を求めなさい。 問2 0◦ θ 180◦ のとき、次の不等式を満たす θ の値の範囲を求めなさい。 √ √ 3 3 1 (1) sin θ (2) − < cos θ (3) tan θ 1 2 2 2 III 円に内接する四角形 ABCD において、AB = √ √ √ √ 2 , BC = 2 2 , CD = 3 , DA = 2 3 とするとき、以下の問いに答えなさい。 問1 cos ∠B の値を求めなさい。 問2 外接円の半径 R を求めなさい。 問3 四角形 ABCD の面積 S を求めなさい。 IV 1 辺の長さが 2 の正四面体 ABCD において、辺 AB の中点を M とするとき、以下の問い に答えなさい。 問1 cos ∠CMD の値を求めなさい。 問2 CMD の面積 S を求めなさい。 問3 正四面体 ABCD の高さ DN を求めなさい。 問4 正四面体 ABCD の体積 V を求めなさい。 計算式 余弦定理より AC2 = AB2 + BC2 − 2 AB · BC cos ∠B x8 − 2x4 y 4 + y 8 0 = 10 − 8 cos ∠B (2 + x − y) (2 − x + y) m < −2 , · · · (1) AC2 = CD2 + DA2 − 2 CD · DA cos (180◦ − ∠B) = CD2 + DA2 + 2 CD · DA cos ∠B m>5 = 15 + 12 cos ∠B · · · (2) (1)(2) より 必要 必要十分 10 − 8 cos ∠B = 15 + 12 cos ∠B 1 cos ∠B = − 4 cos ∠B = − 答え 1 4 問 2 計算式 三角比の相互関係より sin ∠B = 1 − cos2 ∠B = 13 − < a < −4 3 √ 15 4 問 1 の (1) より ◦ ◦ 60 θ 120 ◦ AC = ◦ 30 θ < 120 ◦ ◦ 45 θ < 90 √ √ 10 − 8 cos ∠B = 2 3 正弦定理より √ 1 AC 4 5 R= · = 2 sin ∠B 5 √ 4 5 R= 5 答え 計算式 1 CM · DM sin ∠CMD 2 3 1 − cos2 ∠CMD = 2 √ = 2 S= 計算式 ABC, ACD の面積をそれぞれ S1 , S2 と置くと √ 15 1 S1 = AB · BC sin ∠B = 2 2 √ 1 3 15 ◦ S2 = CD · DA sin (180 − ∠B) = 2 4 S= 答え √ 2 問 3 計算式 S = S1 + S2 √ 5 15 = 4 問 2 で求めた CMD の面積 S を DN を使って表すと 答え √ 1 CM · DN = 2 2 √ 2 6 DN = 3 S= √ 5 15 S= 4 √ 2 6 DN = 3 小 計 答え IV 問 4 問 1 計算式 計算式 1 1 V = AB · CM DN 3 2 √ 2 2 = 3 CM = DM = AD sin ∠DAM = 2 sin 60◦ √ = 3 √ 2 2 V = 3 余弦定理より 答え CM2 + DM2 − CD2 1 cos ∠CMD = = 2 CM · DM 3 答え 1 cos ∠CMD = 3
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