電気回路学I及び演習 (web 公開:2015.6.2) 演習解答例 A–10 【演習問題解答】 〔資料 2–6〕 □問題 1.演習図 1(a) の回路は,理想的なコイルを短絡したものである.コイル L の 電流 i(t) を求めなさい.ただし,i(0) = 2 [A] とする (i(0) は,時間 t = 0 における電 流 i の値を表す). ヒント:枝の特性式を使う.電圧 v はいくらか. i (解答例) 演習図 1(a) の回路について,コイルの枝の特性式から, v(t) = L di(t) dt L (1) v このコイルの端子は短絡されているので, (a) v(t) = 0 (2) i 式 (2) を式 (1) に代入して, 0=L di(t) dt (3) C これを満たす i(t) は, v i(t) = A ここで,A は定数である.問題より,i(0) = 2 [A] であるから,A = i(0).従って, i(t) = i(0) = 2 [A] ··· (答) (b) 演習図 1 式 (3) は,未知の変数 i(t) の微分を 含む方程式である.このような方程 ※積分形の枝の特性式を用いた解き方については,演習問題 2 の解答例を参照のこと. 式を微分方程式と呼ぶ.式 (3) は, 最も簡単な微分方程式の一例である. ※実際にこのような回路を作ると,コイルの巻線などの抵抗により電流が減衰し,最 終的には電流 0 となる.ただし,超伝導 (電気抵抗=0) 状態のコイルでは,電流は減 衰せずに流れ続けることが実験的に確認されている (永久電流). □問題 2.演習図 1(b) の回路は,理想的なカパシタを開放したものである.カパシタ C の電圧 v(t) を求めなさい.ただし,v(0) = 10 [V] とする. (解答例) 演習図 1(b) の回路について,カパシタの枝の特性式から, ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 t 1 0 1 t v(t) = i(t)dt = i(τ )dτ = i(τ )dτ + i(τ )dτ C C −∞ C −∞ C 0 ∫ 1 t = v(0) + i(τ )dτ (1) C 0 このカパシタの端子は開放されているので, i(t) = 0 (2) 式 (2) を式 (1) に代入して, 1 v(t) = v(0) + C ∫ t 0 dτ = v(0) = 10 [V] ··· (答) 0 ※微分形の枝の特性式を使うと,演習問題 1 と同様な解き方になる (計算はこの解答 例より簡単である).一般に積分より微分の計算が簡単なので,積分形で計算につまづ いたときには微分形に切り替えて考えるのも一つの手である. 電気回路学I及び演習 (web 公開:2015.6.2) 演習解答例 A–11 □問題 3.問題 1 において,L = 10 [mH] とする.このコイルの蓄積エネルギー WL を求めなさい. (解答例) i(t) = 2 [A] および L = 10 [mH] より,コイルの蓄積エネルギー WL は, WL = 1 2 1 Li = × 10 × 10−3 [H] × (2 [A])2 = 20 [mJ] 2 2 ··· (答) □問題 4.問題 2 において,C = 470 [µF] とする.このカパシタの蓄積エネルギー WC を求めなさい. (解答例) v(t) = 10 [V] および C = 470 [µF] より,カパシタの蓄積エネルギー WC は, WC = 1 2 1 Cv = × 470 × 10−6 [F] × (10 [V])2 = 23.5 [mJ] 2 2 ··· (答) □問題 5.演習図 2(a) の回路について,抵抗 R の電圧 v ,電流 i および電力 p を図示 しなさい.電流源の電流は,i = I sin ωt i v (I > 0 , ω > 0) で表されるものとする. i p R i v (a) p L v (b) p C (c) 演習図 2 (解答例) 演習図 2(a) の回路について,オームの法則 (抵抗の枝の特性式) と i = I sin ωt から, v(t) = Ri(t) = RI sin ωt 抵抗の電力 pR を表す以下の式 (教 科書 p.22) を直接利用しても良い. 次に電力は,次のように求まる. pR (t) = Ri(t)2 = p(t) = v(t)i(t) = RI sin ωt × I sin ωt = RI 2 sin2 ωt = 1 2 RI (1 − cos 2ωt) 2 式の変形には,次の関係を利用して いる. 抵抗 R の電流 i,電圧 v および電力 p を図示すると,次のようになる. sin2 θ = 1A:B 4 \ f f .g g Tf .g .f g : Q4 \ QC4 f f .g g Tf .g .f g + . . C4 : \ f .g · · · (答) ※上の電力 p のグラフから,抵抗には常に電力が入る様子が見てとれる (p(t) ≥ 0).な お,ハッチング (電力のグラフの細かい平行線) は説明の都合上つけたもので,特に必 要のないかぎり描かなくてよい. 1 (1 − cos 2θ) 2 IA:B C4. 2A:B C4 v(t)2 R f g Tf .g .f g : 電気回路学I及び演習 (web 公開:2015.6.2) 演習解答例 A–12 □問題 6.演習図 2(b) の回路について,コイル L の電圧 v ,電流 i および電力 p を図 示しなさい.電流源の電流は,i = I sin ωt (I > 0 , ω > 0) で表されるものとする. (解答例) 演習図 2(b) の回路について,コイルの枝の特性式と i = I sin ωt から, v(t) = L di(t) = LIω cos ωt dt 次に電力は,次のように求まる. p(t) = v(t)i(t) = LI 2 ω sin ωt cos ωt = 式の変形には,次の関係を利用して いる. 1 2 LI ω sin 2ωt 2 sin 2θ = 2 sin θ cos θ コイル L の電流 i,電圧 v および電力 p を図示すると,次のようになる. 1A:B 4 IA:B 2A:B 04g \ f f .g g Tf .g : .f g \ Q4 + . . 04 g f .g f g \ Tf .g .f g : f .g f g Tf .g .f g : Q +. 04.g Q04g ··· (答) ※上の電力 p のグラフから,コイルに電力が出入りしている様子が見てとれる (入り: p(t) > 0, 出:p(t) < 0). □問題 7.問題 6 において,i = I cos ωt (I > 0) とする.ω = 0 のときのコイル L の 電圧 v を求めなさい.また,得られた結果はどのように考えればよいか. ヒント:ω = 0 は,直流を意味する. (解答例) 演習図 2(b) の回路について,コイルの枝の特性式と i = I cos ωt から, v(t) = L di(t) = −LIω sin ωt dt この式において ω = 0 とおくと,コイルの電圧は, v(t) = −LI · 0 · sin(0 · t) = 0 ω=0 ··· (答) となる.これは,今考えている ω = 0 では,コイルは短絡状態に等しいことを意味 する. 一方,このときの電流は, i(t) = I cos 0 = I = (定数) ω=0 となり,一定電流すなわち直流電流がコイルに流れていることになる. 以上の結果から,直流電流をコイルに流した場合,コイルの電圧は 0 になり,コイ ルは短絡状態とみなせる. ··· (答) • ω=0 は,ω = 0 という条件を入 れて計算した,ということを表す. 電気回路学I及び演習 (web 公開:2015.6.2) 演習解答例 A–13 □問題 8.演習図 2(c) の回路について,カパシタ C の電圧 v ,電流 i および電力 p を 図示しなさい.電圧源の電圧は,v = V sin ωt (V > 0 , ω > 0) で表されるものと する. (解答例) 演習図 2(c) の回路について,カパシタの枝の特性式と v = V sin ωt から, i(t) = C dv(t) = CV ω cos ωt dt 次に電力は,次のように求まる. p(t) = v(t)i(t) = CV 2 ω sin ωt cos ωt = 式の変形には,次の関係を利用して いる. 1 CV 2 ω sin 2ωt 2 カパシタ C の電圧 v ,電流 i および電力 p を図示すると,次のようになる. 2A:B 7 IA:B 1A:B N7g \ f f .g g Tf .g : .f g Q7 \ sin 2θ = 2 sin θ cos θ + . . N7 g f .g f g \ Tf .g .f g : f .g Q +. N7.g QN7g ··· (答) ※上の電力 p のグラフから,カパシタに電力が出入りしている様子が見てとれる (入 り:p(t) > 0, 出:p(t) < 0). ※抵抗,コイル,カパシタのいずれの場合でも,素子に入る電力 p は電源の 2 倍の速 さ (2ω) で振動する. □問題 9.問題 8 において,v = V cos ωt (V > 0) とする.ω = 0 のときのカパシタ C の電流 i を求めなさい.また,得られた結果はどのように考えればよいか. (解答例) 演習図 2(c) の回路について,カパシタの枝の特性式と v = V cos ωt から, i(t) = C dv(t) = −CV ω sin ωt dt この式において ω = 0 とおくと,カパシタの電流は, i(t) = −CV · 0 · sin(0 · t) = 0 · · · (答) ω=0 となる.これは,今考えている ω = 0 では,カパシタは開放状態に等しいことを意味 する. 一方,このときの電圧は, v(t) = V cos 0 = V = (定数) ω=0 となり,一定電圧すなわち直流電圧がカパシタに加わっていることになる. 以上の結果から,直流電圧をカパシタに加えた場合,カパシタに電流は流れず,カ · · · (答) 1 章の直流回路でコイルやカパシタが出てこなかったのは,直流回路ではコイ パシタは開放状態とみなせる. 補足 ルとカパシタはそれぞれ短絡と開放になり,回路素子としては抵抗だけが残るからで ある.これは,直流回路は交流回路の特別な場合(ω = 0) であると考えられることを 示している. f g Tf .g .f g :
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