t... - SUUGAKU.JP

1
¡
! ¡!
0 < t < 1 とする．4OAB において， a = OA，
¡
! ¡!
¡!
2 ¡!
AB となる点を C と
b = OB とする．AC =
3
¡
! ¡!
¡!
¡
!
し， c = OC とする．OD = t b となる点を D，
¡!
¡
!
¡!
¡!
OE = (1¡t) a となる点を E，AF = (1¡t)AB
(2) 線分 OC が ÎAOB の 2 等分線となるとき，C は
辺 AB を a : b に内分する点であることを示せ．
(3) (2) のとき，4OAB の面積を S1 ，4PAB の面
S2
積を S2 とする．
を a; b を用いて表せ．
S1
となる点を F とする．線分 AD と線分 OC の交
（京都府立大学 2011 ）
点を G とする．以下の問いに答えよ．
¡
!
¡
!
¡
!
¡!
(1) 3j a j2 + 6j b j2 ¡ 9j c j2 = 2jABj2 となること
を示せ．
¡! ¡
! ¡
!
(2) AG を a ， b および t を用いて表せ．
(3) 4OAB の面積を S1 ，4DEF の面積を S2 とす
S2
S2
る．
を t を用いて多項式で表し，
の最
S1
S1
小値とそのときの t の値を求めよ．
（京都府立大学 2014 ）
3
¡!
¡
! ¡!
¡
!
4OAB において OA = a ，OB = b とする．
¡!
¡
! ¡
!
2 つの正の数 s; t に対して，OC = s a + t b と
なるように点 C を定める．また，線分 AC および
線分 BC の中点をそれぞれ M，N とし，直線 OM
および直線 ON が線分 AB と交わる点をそれぞれ
¡
!
¡
!
¡
! ¡
!
P，Q とする．j a j = 2，j b j = 3， a ¢ b = 5
のとき，次の問いに答えよ．
(1) 線分 AB の長さ，および 4OAB の面積 S1 を
求めよ．
¡! ¡
! ¡
!
(2) OP を a ， b ，s，t を用いて表せ．
¡! ¡
! ¡
!
(3) OQ を a ， b ，s，t を用いて表せ．
(4) 4OPQ の面積を S2 とする．S2 を s; t を用い
て表せ．
1
S となるための s; t の条件を求め，
(5) S2 =
4 1
s; t がその条件をみたしながら動くとき，点 C
の存在する範囲を求めよ．
2
t > 0 とする．平面上に 4OAB と点 P がある．
¡!
¡!
¡
!
¡
!
P は (2 ¡ t)PO + 2(1 ¡ t)PA + 3tPB = 0 を
満たす．直線 OP と直線 AB の交点を C とする．
¡!
¡!
jOAj = a，jOBj = b とする．以下の問いに答
えよ．
¡!
jBCj
(1) ¡! を t を用いて表せ．
jACj
（同志社大学 2013 ）
4
関数 f(x) = x
B
1 ¡ x2 (¡1 5 x 5 1) につ
6
2 次関数 f(x); g(x) は，それぞれ
いて，次の問いに答えよ．
Z0
3x
f(t) dt + 7;
7
0
¡1
Zx
2x3
+ 2x2 ¡ 2x +
(x ¡ 1)g(x) =
g(t) dt ¡
3
0
f(x) =
(1) f(x) の増減を調べ，最大値，最小値を求めよ．
Z1
(2) 定積分
f(x) dx を求めよ．
¡1
3x2
16
Z
1
f(t) dt ¡
を満たすとする．次の問いに答えよ．
（琉球大学 2015 ）
(1) f(x) を求めよ．
(2) g(x) を求めよ．
(3) 放物線 y = f(x) の点 (4; f(4)) における接
線を ` とする．直線 ` と放物線 y = g(x) とで
囲まれた部分の面積を求めよ．
（佐賀大学 2012 ）
5
f(x); g(x) を x の整式とする．これらが
Z
f(x) = 2x +
g(x) = x
2
Z
1
0
g(t) dt
1
0
f(t) dt + 2
を満たすとき，
f(x) =
(1)
(4)
g(x) =
(5)
(2)
x+
(3)
x2 +
x+
(6)
(7)
7
log 2x
(x = 1) について，以下
x
の問いに答えよ．
関数 f(x) =
となる．さらに，
Z
(1) f(x) の最大値と，そのときの x の値を求めよ．
2
¡1
ff(t) + 2g(t)g dt =
Z
(9)
(10)
(11)
(2) (1) で求めた x の値を a とするとき，定積分
Za
f(x) dx を求めよ．
1
2
0
(8)
0
f(t)g (t) dt =
(12)
(13)
(14)
である．
（慶應義塾大学 2012 ）
（福井大学 2007 ）
8
k は自然数とし，数列 fan g は
a1 =
B
2;
(2an +k)an+1 = kan ¡2
(n = 1; 2; 3; Ý)
を満たしているとする．このとき，次の問いに
答えよ．
(1) a3 を k を用いて表せ．
p
2
となる k を求めよ．
(2) a3 = ¡
2
(3) (2) で求めた k について，a5 と a2012 を求めよ．
（立教大学 2012 ）
9
数列 fan g が
an =
Z
0
¼
2
cosn x dx
(n = 1; 2; 3; Ý)
で定義されるとき，次の問いに答えよ．
(1) a1 ; a2 を求めよ．
n+1
a を示せ．
n+2 n
¼
を
(3) bn = (n + 1)an+1 an とおくとき，bn =
2
示せ．
F
E
p
n¼
¼
を示し，
(4)
<
nan <
2
2(n + 1)
p
lim nan を求めよ．
(2) 部分積分法を用いて，an+2 =
n!1
（山形大学 2008 ）

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